已知f（x）定义域为R，满足：①f（1）=1＞f（-1）；②对任意实数x，y，有f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）．（Ⅰ）求f（0），
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知f（x）定义域为R，满足：
①f（1）=1＞f（-1）；
②对任意实数x，y，有f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1）．
（Ⅰ）求f（0），f（3）的值；
（Ⅱ）判断函数的奇偶性与周期性，并求f2（3x）+f2（3x-1）的值；
（Ⅲ）是否存在常数A，B，使得不等式|f（x）+f（2-x）+Ax+B|≤2对一切实数x成立．如果存在，求出常数A，B的值；如果不存在，请说明理由． |
答案
（Ⅰ）∵f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1），
∴令x=y=1，得f（1-1+1）=f（1）f（1）+f（0）f（0），
即f（1）=f2（1）+f2（0），
∵f（1）=1，∴f（0）=0，
令x=y=0得，f（1）=f2（0）+f2（-1），
∵f（1）=1＞f（-1），∴f（-1）=-1，
令x=0、y=2得，f（3）=f（0）f（2）+f（-1）f（1），
∴f（3）=-f（1）=-1，
（Ⅱ）对f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1），
令y=0，得f（-x+1）=f（x）f（0）+f（x-1）f（-1）
由（1）得，f（-1）=-1，f（0）=0，
∴f（-x+1）=-f（x-1），令x=x+1，即f（-x）=-f（x），
∴函数为奇函数，
令x=-x-1，代入f（-x+1）=-f（x-1），
得f（-x+2）=-f（-x）=f（x），即f（2-x）=f（x），
∴-f（x-2）=f（x），令x=x+2代入得f（x+2）=-f（x），
令x=x+2代入得f（x+4）=f（x），
∴函数的周期是4，
令x=y代入f（y-x+1）=f（x）f（y）+f（x-1）f（y-1），
得f2（x）+f2（x-1）=1，令x=3x代入得，
∴f2（3x）+f2（3x-1）=1，
（Ⅲ）假设存在常数A，B满足题意，
由（II）得，f（2-x）=f（x），
∴|f（x）+f（2-x）+Ax+B|≤2为：|2f（x）+Ax+B|≤2，
令x=-1得，-2≤-2-A+B≤2，即-2≤2+A-B≤2 ①
令x=1得，-2≤2+A+B≤2 ②
令x=3得，-2≤-2+3A+B≤2，即-2≤2-3A-B≤2 ③
①+②得，-4≤A≤0；②+③得，0≤A≤4，则A=0，
将A=0代入①得0≤B≤4；代入②得-4≤B≤0，则B=0，
由（II）得，f2（x）+f2（x-1）=1，
∴当A=B=0时，|2f（x）+Ax+B|≤2对一切实数x成立，
∴存在唯一一组常数A=B=0，使得不等式|f（x）+f（2-x）+Ax+B|≤2对一切实数x成立． |
举一反三
若对任意x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，则称f（x，y）为关于x，y的二元函数．
定义：满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x，y的广义“距离”：
（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y时取等号；
（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．
给出三个二元函数：①f（x，y）=（x-y）2；②f（x，y）=|x-y|； ③f（x，y）=．
请选出所有能够成为关于x，y的广义“距离”的序号______． |
设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，当x＞0时，f（x）＞1，且f（3）=4；
（1）求f（1），f（4）的值；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）若关于x的不等式f（|x|x+a2x+a）＜f（f（4）•x）的解集中最大的整数为2，求实数a的取值范围． |
设f（x）是定义在R上的函数，对m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：当x∈R时，恒有f（x）＞0；
（3）求证：f（x）在R上是减函数． |
f（x）= | | x+2(x≤-1) | | x2(-1＜x＜2) | | 3x(x≥2) |
| |
，若f（m）=3，求m的值． |
| 已知f（x）是定义在R数，且f（1）=1，对任意的x∈R式成立：f（x+5）≥f（x）+5；f（x+1）≤f（x）+1，若g（x）=f（x）+1-x，则g（6）=______． |
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