已知f(x)定义域为R,满足:①f(1)=1>f(-1);②对任意实数x,y,有f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).(Ⅰ)求f(0),

已知f(x)定义域为R,满足:①f(1)=1>f(-1);②对任意实数x,y,有f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).(Ⅰ)求f(0),

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)定义域为R,满足:
①f(1)=1>f(-1);
②对任意实数x,y,有f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).
(Ⅰ)求f(0),f(3)的值;
(Ⅱ)判断函数的奇偶性与周期性,并求f2(3x)+f2(3x-1)的值;
(Ⅲ)是否存在常数A,B,使得不等式|f(x)+f(2-x)+Ax+B|≤2对一切实数x成立.如果存在,求出常数A,B的值;如果不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)∵f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1),
∴令x=y=1,得f(1-1+1)=f(1)f(1)+f(0)f(0),
即f(1)=f2(1)+f2(0),
∵f(1)=1,∴f(0)=0,
令x=y=0得,f(1)=f2(0)+f2(-1),
∵f(1)=1>f(-1),∴f(-1)=-1,
令x=0、y=2得,f(3)=f(0)f(2)+f(-1)f(1),
∴f(3)=-f(1)=-1,
(Ⅱ)对f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1),
令y=0,得f(-x+1)=f(x)f(0)+f(x-1)f(-1)
由(1)得,f(-1)=-1,f(0)=0,
∴f(-x+1)=-f(x-1),令x=x+1,即f(-x)=-f(x),
∴函数为奇函数,
令x=-x-1,代入f(-x+1)=-f(x-1),
得f(-x+2)=-f(-x)=f(x),即f(2-x)=f(x),
∴-f(x-2)=f(x),令x=x+2代入得f(x+2)=-f(x),
令x=x+2代入得f(x+4)=f(x),
∴函数的周期是4,
令x=y代入f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1),
得f2(x)+f2(x-1)=1,令x=3x代入得,
∴f2(3x)+f2(3x-1)=1,
(Ⅲ)假设存在常数A,B满足题意,
由(II)得,f(2-x)=f(x),
∴|f(x)+f(2-x)+Ax+B|≤2为:|2f(x)+Ax+B|≤2,
令x=-1得,-2≤-2-A+B≤2,即-2≤2+A-B≤2    ①
令x=1得,-2≤2+A+B≤2      ②
令x=3得,-2≤-2+3A+B≤2,即-2≤2-3A-B≤2   ③
①+②得,-4≤A≤0;②+③得,0≤A≤4,则A=0,
将A=0代入①得0≤B≤4;代入②得-4≤B≤0,则B=0,
由(II)得,f2(x)+f2(x-1)=1,
∴当A=B=0时,|2f(x)+Ax+B|≤2对一切实数x成立,
∴存在唯一一组常数A=B=0,使得不等式|f(x)+f(2-x)+Ax+B|≤2对一切实数x成立.
举一反三
若对任意x∈A,y∈B,(A⊆R,B⊆R)有唯一确定的f(x,y)与之对应,则称f(x,y)为关于x,y的二元函数.
定义:满足下列性质的二元函数f(x,y)为关于实数x,y的广义“距离”:
(1)非负性:f(x,y)≥0,当且仅当x=y时取等号;
(2)对称性:f(x,y)=f(y,x);
(3)三角形不等式:f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y)对任意的实数z均成立.
给出三个二元函数:①f(x,y)=(x-y)2;②f(x,y)=|x-y|; ③f(x,y)=


x-y

请选出所有能够成为关于x,y的广义“距离”的序号______.
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设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x>0时,f(x)>1,且f(3)=4;
(1)求f(1),f(4)的值;
(2)判断并证明f(x)的单调性;
(3)若关于x的不等式f(|x|x+a2x+a)<f(f(4)•x)的解集中最大的整数为2,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设f(x)是定义在R上的函数,对m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.
(1)求证:f(0)=1;
(2)求证:当x∈R时,恒有f(x)>0;
(3)求证:f(x)在R上是减函数.
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f(x)=





x+2(x≤-1)
x2(-1<x<2)
3x(x≥2)
,若f(m)=3,求m的值.
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已知f(x)是定义在R数,且f(1)=1,对任意的x∈R式成立:f(x+5)≥f(x)+5;f(x+1)≤f(x)+1,若g(x)=f(x)+1-x,则g(6)=______.
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