设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x>0时,f(x)>1,且f(3)=4;(1)求f(1),f(4)的值;
题型:解答题难度:一般来源:不详
设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x>0时,f(x)>1,且f(3)=4; (1)求f(1),f(4)的值; (2)判断并证明f(x)的单调性; (3)若关于x的不等式f(|x|x+a2x+a)<f(f(4)•x)的解集中最大的整数为2,求实数a的取值范围. |
答案
(1)由题意可得f(3)=f(2)+f(1)-1=4,f(2)=2f(1)-1 ∴3f(1)-2=4,即f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4,f(4)=2f(2)-1=5 (2)由(1)可得函数为单调递增的函数 证明如下:设a>0,则x+a>x ∵由题意可得,当x>0时,f(x)>1 ∴f(a)>1 由已知可得,f(x+a)-f(x)=f(x)+f(a)-f(x)-1=f(a)-1>0 ∴f(x+a)>f(x) 由函数的单调性的定义可知函数单调递增 (3)∵f(|x|x+a2x+a)<f(f(4)•x) 由(2)中函数单调递增且f(4)=5可得|x|x+a2x+a<5x 当x>0可得,x2+(a2-5)x+a<0的解集中的最大整数为2 令g(x)=x2+(a2-5)x+a,则 即解可得≤a≤1 当x<0时,x2+(5-a2)x-a>0的解集中的最大整数为2,此时不符合题意 |
举一反三
设f(x)是定义在R上的函数,对m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0时,0<f(x)<1. (1)求证:f(0)=1; (2)求证:当x∈R时,恒有f(x)>0; (3)求证:f(x)在R上是减函数. |
f(x)= | x+2(x≤-1) | x2(-1<x<2) | 3x(x≥2) |
| | ,若f(m)=3,求m的值. |
已知f(x)是定义在R数,且f(1)=1,对任意的x∈R式成立:f(x+5)≥f(x)+5;f(x+1)≤f(x)+1,若g(x)=f(x)+1-x,则g(6)=______. |
设f(x)=,若f(f(1))=1,则a=______. |
已知函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,有f(2)=1,对于任意的x>0,y>0,都有f(xy)=f(x)+f(y),且满足当x>1时,f(x)>0成立. (1)求f(1)、f(4)的值; (2)求满足f(x)+f(x-3)>2的x的取值范围. |
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