若对任意x∈A,y∈B,(A⊆R,B⊆R)有唯一确定的f(x,y)与之对应,则称f(x,y)为关于x,y的二元函数.定义:满足下列性质的二元函数f(x,y)为关

若对任意x∈A,y∈B,(A⊆R,B⊆R)有唯一确定的f(x,y)与之对应,则称f(x,y)为关于x,y的二元函数.定义:满足下列性质的二元函数f(x,y)为关

题型:填空题难度:一般来源:不详
若对任意x∈A,y∈B,(A⊆R,B⊆R)有唯一确定的f(x,y)与之对应,则称f(x,y)为关于x,y的二元函数.
定义:满足下列性质的二元函数f(x,y)为关于实数x,y的广义“距离”:
(1)非负性:f(x,y)≥0,当且仅当x=y时取等号;
(2)对称性:f(x,y)=f(y,x);
(3)三角形不等式:f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y)对任意的实数z均成立.
给出三个二元函数:①f(x,y)=(x-y)2;②f(x,y)=|x-y|; ③f(x,y)=


x-y

请选出所有能够成为关于x,y的广义“距离”的序号______.
答案
对于①,不妨令x-y=2,则有x-
x+y
2
=
x+y
2
-y=1,此时有(x-y)2=4,而 (x-
x+y
2
2=(
x+y
2
-y)2=1,故f(x,y)≤f(x,z)+f(z,y)不成立,所以不满足三角不等式,故①不满足
对于②,f(x,y)=|x-y|≥0满足(1);f(x,y)=|x-y|=f(y,x)=|y-x|满足(2);f(x,y)=|x-y|=|(x-z)+(z-y)|≤|x-z|+|z-y|=f(x,z)+f(z,y)满足(3),故②能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数
对于③,由于x-y>0时,f(y,x)=


y-x​
无意义,故③不满足
故答案为:②
举一反三
设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x>0时,f(x)>1,且f(3)=4;
(1)求f(1),f(4)的值;
(2)判断并证明f(x)的单调性;
(3)若关于x的不等式f(|x|x+a2x+a)<f(f(4)•x)的解集中最大的整数为2,求实数a的取值范围.
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设f(x)是定义在R上的函数,对m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.
(1)求证:f(0)=1;
(2)求证:当x∈R时,恒有f(x)>0;
(3)求证:f(x)在R上是减函数.
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f(x)=





x+2(x≤-1)
x2(-1<x<2)
3x(x≥2)
,若f(m)=3,求m的值.
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已知f(x)是定义在R数,且f(1)=1,对任意的x∈R式成立:f(x+5)≥f(x)+5;f(x+1)≤f(x)+1,若g(x)=f(x)+1-x,则g(6)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
f(x)=





lgx             x>0
x+
0a
3t2dt    x≤0
,若f(f(1))=1,则a=______.
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