已知函数f(x)=ax2+4(a为非零实数),设函数F(x)=f(x)(x>0)-f(x)(x<0).(1)若f(-2)=0,求F(x)的表达式;(2)设mn<
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已知函数f(x)=ax2+4(a为非零实数),设函数F(x)=f(x)(x>0)-f(x)(x<0).(1)若f(-2)=0,求F(x)的表达式;(2)设mn<
题型:解答题
难度:一般
来源:杭州一模
已知函数f(x)=ax
2
+4(a为非零实数),设函数F(x)=
f(x)(x>0)
-f(x)(x<0)
.
(1)若f(-2)=0,求F(x)的表达式;
(2)设mn<0,m+n>0,试判断F(m)+F(n)能否大于0?
答案
(1)由f(-2)=0,4a+4=0⇒a=-1,
∴F(x)=
-
x
2
+4 (x>0)
x
2
-4 (x<0)
.
(2)∵
m•n<0
m+n>0
,∴m,n一正一负.
不妨设m>0且n<0,则m>-n>0,m
2
>n
2
F(m)+F(n)=f(m)-f(n)=am
2
+4-(an
2
+4)
=a(m
2
-n
2
),
当a>0时,F(m)+F(n)能大于0,
当a<0时,F(m)+F(n)不能大于0.
综上,当a>0时,F(m)+F(n)能大于0,
举一反三
已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b∈R,,满足f(a•b)=af(b)+bf(a),
f(2)=2,
a
n
=
f(
2
n
)
n
(n∈
N
*
),
b
n
=
f(
2
n
)
2
n
(n∈
N
*
)
考查下列结论:
(1)f(0)=f(1);
(2)f(x)为偶函数;
(3)数列{a
n
}为等比数列;
(4)
lim
n→∞
(1+
1
b
n
)
b
n
=e
.
其中正确的是______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知
f(x)=
3+x
1+
x
2
,0≤x≤3
f(3),x>3.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若关于x的方程f(x)-a=0恰有一个实数解,求实数a的取值范围;
(3)已知数列
{
a
n
}满足:0<
a
n
≤3,n∈
N
*
,且
a
1
+
a
2
+
a
3
+…
a
2009
=
2009
3
,若不等式f(a
1
)+f(a
2
)+f(a
3
)+…+f(a
2009
)≤x-ln(x-p)在x∈(p,+∞)时恒成立,求实数p的最小值.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=|x-1|-|x+1|.如果f(f(a))=f(9)+1,则实数a等于( )
A.
-
1
4
B.-1
C.1
D.
3
2
题型:单选题
难度:简单
|
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已知函数f(x)在(-1,1)有意义,f(
1
2
)=-1且任意的x、y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
),若数列{x
n
}满足x
1
=
1
2
,x
n+1
=
2
x
n
1+
x
2n
(n∈N
*
),求f(x
n
).
题型:解答题
难度:一般
|
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已知定义域在R上的单调函数,存在实数x
0
,使得对于任意的实数x
1
,x
2
总有f(x
0
x
1
+x
0
x
2
)=f(x
0
)+f(x
1
)+f(x
2
)恒成立.
(1)求x
0
的值;
(2)若f(1)=1,且对于任意的正整数n,有a
n
=
1
f(n)
,b
n
=f(
1
2
n
)+1
(Ⅰ)若S
n
=a
1
a
2
+a
2
a
3
+…+a
n
a
n+1
,求S
n
;
(Ⅱ)若T
n
=b
1
b
2
+b
2
b
3
+…+b
n
b
n+1
,求T
n
.
题型:解答题
难度:一般
|
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