函数y=f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.(Ⅰ)求f(0)的值;(Ⅱ)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)的值,猜
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函数y=f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.(Ⅰ)求f(0)的值;(Ⅱ)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)的值,猜
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
函数y=f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.
(Ⅰ)求f(0)的值;
(Ⅱ)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)的值,猜想f(n)的表达式并用数学归纳法证明你的结论;(n∈N
*
)
(Ⅲ)若f(1)≥1,求证:
f(
1
2
n
)>0(n∈
N
*
)
.
答案
(Ⅰ)令x=y=0得f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0⇒f(0)=0(3分)
(Ⅱ)f(1)=1,
f(2)=f(1+1)=1+1+2=4
f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9
f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16
(2分)
猜想f(n)=n
2
,下用数学归纳法证明之.
当n=1时,f(1)=1满足条件
假设当n=k时成立,即f(k)=k
2
则当n=k+1时f(k+1)=f(k)+f(1)+2k=k
2
+1+2k=(k+1)
2
从而可得当n=k+1时满足条件
对任意的正整数n,都有 f(n)=n
2
(5分)
(Ⅲ)f(1)≥1,则
f(1)=2f(
1
2
)+2×
1
2
×
1
2
≥1⇒f(
1
2
)≥
1
4
>0
假设n=k(k∈N
*
)时命题成立,即
f(
1
2
k
)≥
1
2
2k
>0
,则
f(
1
2
k
)=2f(
1
2
k+1
)+2×
1
2
k+1
×
1
2
k+1
≥
1
2
2k
⇒f(
1
2
k+1
)≥
1
2
2(k+1)
,
由上知,则
f(
1
2
n
)>0(n∈
N
*
)
.(4分)
举一反三
已知点集
L={(x,y)|y=
m
•
n
}
,其中
m
=(2x-b,1),
n
=(1,1+b)
,又知点列P
n
(a
n
,b
n
)∈L,P
1
为L与y轴的交点.等差数列{a
n
}的公差为1,n∈N
*
.
(Ⅰ)求P
n
(a
n
,b
n
);
(Ⅱ)若
f(n)=
a
n
,n=2k-1
b
n
,n=2k
k∈
N
*
,f(k+11)=2f(k)
,求出k的值;
(Ⅲ)对于数列{b
n
},设S
n
是其前n项和,是否存在一个与n无关的常数M,使
S
n
S
2n
=M
,若存在,求出此常数M,若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6点到中午12点,车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出:
y=
-
1
8
t
3
-
3
4
t
2
+36t-
629
4
,(6≤t<9)
t
8
+
55
4
,(9≤t≤10)
-3
t
2
+66t-345,(10<t≤12)
.求从上午6点到中午12点,通过该路段用时最多的时刻.
题型:解答题
难度:一般
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已知定义在R上的函数f(x),g(x)分别满足:f(1+x)+f(1-x)=0,g(-x)=g(x),则下列函数中,一定为奇函数的是( )
A.y=f(x)•g(x)
B.y=f(x+1)•g(x)
C.y=f(x-1)•g(x)
D.y=f(x)•g(x-1)
题型:单选题
难度:简单
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函数f(x)对任意的实数m、n有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x>0时有f(x)>0、
(1)求证:f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;
(2)若f(1)=1,解不等式f[log
2
(x
2
-x-2)]<2.
题型:解答题
难度:一般
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某公司为了应对金融危机,决定适当进行裁员.已知这家公司现有职工2m人(60<m<500,且m为10的整数倍),每人每年可创利100千元.据测算,在经营条件不变的前提下,若裁员人数不超过现有人数的20%,则每裁员1人,留岗员工每人每年就能多创利1千元;若裁员人数超过现有人数的20%,则每裁员1人,留岗员工每人每年就能多创利2千元.为保证公司的正常运转,留岗的员工数不得少于现有员工人数的75%.为保障被裁员工的生活,公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费.问:为了获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?
题型:解答题
难度:一般
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