已知点集L={(x,y)|y=m•n},其中m=(2x-b,1),n=(1,1+b),又知点列Pn(an,bn)∈L,P1为L与y轴的交点.等差数列{an}的公
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已知点集L={(x,y)|y=m•n},其中m=(2x-b,1),n=(1,1+b),又知点列Pn(an,bn)∈L,P1为L与y轴的交点.等差数列{an}的公
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知点集
L={(x,y)|y=
m
•
n
}
,其中
m
=(2x-b,1),
n
=(1,1+b)
,又知点列P
n
(a
n
,b
n
)∈L,P
1
为L与y轴的交点.等差数列{a
n
}的公差为1,n∈N
*
.
(Ⅰ)求P
n
(a
n
,b
n
);
(Ⅱ)若
f(n)=
a
n
,n=2k-1
b
n
,n=2k
k∈
N
*
,f(k+11)=2f(k)
,求出k的值;
(Ⅲ)对于数列{b
n
},设S
n
是其前n项和,是否存在一个与n无关的常数M,使
S
n
S
2n
=M
,若存在,求出此常数M,若不存在,请说明理由.
答案
(I)由题设有L={(x,y)|y=2x+1},故L为直线y=2x+1,它与y轴的交点为P
1
(0,1)(2分)
∴a
1
=0,又数列{a
n
}是以1为公差的等差数列,所以a
n
=n-1,b
n
=2a
n
+1=2(n-1)+1=2n-1
故P
n
(n-1,2n-1)(5分)
(II)
f(n)=
a
n
b
n
=
n-1,n=2k-1
2n-1,n=2k
(k∈
N
*
)
(5分)
当k为奇数时,f(k+11)=2f(k)⇒2(k+11)-1=2(k-1)⇒k不存在;
当k为偶数时,f(k+11)=2f(k)⇒(k+11)-1=2(2k-1)⇒k=4. (10分)
(III)∵b
n
=2n-1,∴S
n
=n
2
,假设存在与n无关的常数M,使
S
n
S
2n
=M
即
n
2
(2n)
2
=M⇒M=
1
4
,故存在与n无关的常数
M=
1
4
,使
S
n
S
2n
=M
. (14分)
举一反三
某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6点到中午12点,车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出:
y=
-
1
8
t
3
-
3
4
t
2
+36t-
629
4
,(6≤t<9)
t
8
+
55
4
,(9≤t≤10)
-3
t
2
+66t-345,(10<t≤12)
.求从上午6点到中午12点,通过该路段用时最多的时刻.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知定义在R上的函数f(x),g(x)分别满足:f(1+x)+f(1-x)=0,g(-x)=g(x),则下列函数中,一定为奇函数的是( )
A.y=f(x)•g(x)
B.y=f(x+1)•g(x)
C.y=f(x-1)•g(x)
D.y=f(x)•g(x-1)
题型:单选题
难度:简单
|
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函数f(x)对任意的实数m、n有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x>0时有f(x)>0、
(1)求证:f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;
(2)若f(1)=1,解不等式f[log
2
(x
2
-x-2)]<2.
题型:解答题
难度:一般
|
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某公司为了应对金融危机,决定适当进行裁员.已知这家公司现有职工2m人(60<m<500,且m为10的整数倍),每人每年可创利100千元.据测算,在经营条件不变的前提下,若裁员人数不超过现有人数的20%,则每裁员1人,留岗员工每人每年就能多创利1千元;若裁员人数超过现有人数的20%,则每裁员1人,留岗员工每人每年就能多创利2千元.为保证公司的正常运转,留岗的员工数不得少于现有员工人数的75%.为保障被裁员工的生活,公司要付给被裁员工每人每年20千元的生活费.问:为了获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?
题型:解答题
难度:一般
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定义在R上的函数f(x),对任意x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),且f(1)=2,那么下面四个式子:
①f(1)+2f(1)+…+nf(1);
②
f[
n(n+1)
2
]
;
③n(n+1);
④n(n+1)f(1).
其中与f(1)+f(2)+…+f(n)(n∈N
*
)相等的是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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