已知函数f（x）满足：对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）-f（x）-f（y）+2成立，且x＞0时，f（x）＞2，（1）求f（0）的值，并证明
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）满足：对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）-f（x）-f（y）+2成立，且x＞0时，f（x）＞2，
（1）求f（0）的值，并证明：当x＜0时，1＜f（x）＜2．
（2）判断f（x）的单调性并加以证明．
（3）若函数g（x）=|f（x）-k|在（-∞，0）上递减，求实数k的取值范围． |
答案
（1）∵f（x+y）=f（x）•f（y）-f（x）-f（y）+2令x=y=0，
f（0）=f（0）•f（0）-f（0）-f（0）+2
∴f2（0）-3f（0）+2=0，f（0）=2或 f（0）=1
若 f（0）=1
则 f（1）=f（1+0）=f（1）•f（0）-f（1）-f（0）+2=1，
与已知条件x＞0时，f（x）＞2相矛盾，∴f（0）=2 （1分）
设x＜0，则-x＞0，那么f（-x）＞2
又2=f（0）=f（x-x）=f（x）•f（-x）-f（x）-f（-x）+2
∴f(x)==1+
∵f（-x）＞2
，∴0＜＜1，从而1＜f（x）＜2（3分）
（2）函数f（x）在R上是增函数
设x1＜x2则x2-x1＞0，∴f（x2-x1）＞2
f（x2）=f（x2-x1+x1）=f（x2-x1）f（x1）-f（x2-x1）-f（x1）+2
=f（x2-x1）[f（x1）-1]-f（x1）+2
∵由（1）可知对x∈R，f（x）＞1，∴f（x1）-1＞0，又f（x2-x1）＞2
∴f（x2-x1）•[f（x1）-1]＞2f（x1）-2
f（x2-x1）[f（x1）-1]-f（x1）+2＞f（x1）
即f（x2）＞f（x1）
∴函数f（x）在R上是增函数 （3分）
（3）∵由（2）函数f（x）在R上是增函数
∴函数y=f（x）-k在R上也是增函数
若函数g（x）=|f（x）-k|在（-∞，0）上递减
则x∈（-∞，0）时，g（x）=|f（x）-k|=k-f（x）
即x∈（-∞，0）时，f（x）-k＜0，
∵x∈（-∞，0）时，f（x）＜f（0）=2，∴k≥2（3分） |
举一反三
| 已知函数y=f（x），对任意的两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）成立，且f（0）≠0，则f（-2007）×f（-2006）×…×f（2006）×f（2007）的值是（ ） |
已知函数f（x）对一切实数x，y∈R都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）求 f（x）的解析式． |
| 定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0当x＞0，f（x）＞1且对于任意的a，b∈R有，f（a+b）=f（a）f（b），（1）证明：f（0）=1．（2）证明：对于任意的x∈R，恒有f（x）＞0． |
已知f（x）=3x，下列运算不正确的是（ ）| A．f（x）•f（y）=f（x+y） | B．=f(x-y) | C．f（x）•f（y）=f（x•y） | D．f（log34）=4 |
|
设函数f（x）是定义域在（0，+∞），且对任意m，n∈（0，+∞）都有f（mn）=f（m）+f（n），f（4）=1，当x＞1时，恒有f（x）＞0
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数
（2）解不等式f（x+6）+f（x）＜2
（3）若∀x∈[4，16]，都有f（x）≤a，求实数a的取值范围 |
最新试题
热门考点