设函数f(x)是定义域在(0,+∞),且对任意m,n∈(0,+∞)都有f(mn)=f(m)+f(n),f(4)=1,当x>1时,恒有f(x)>0(1)求证:f(
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)是定义域在(0,+∞),且对任意m,n∈(0,+∞)都有f(mn)=f(m)+f(n),f(4)=1,当x>1时,恒有f(x)>0 (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数 (2)解不等式f(x+6)+f(x)<2 (3)若∀x∈[4,16],都有f(x)≤a,求实数a的取值范围 |
答案
(1)设0<a<b,则b-a>0,>1, ∵任意m,n∈(0,+∞)都有f(mn)=f(m)+f(n), ∴f(b)=f(•a)=f()+f(a), ∵当x>1时,恒有f(x)>0,∴f(b)-f(a)=f()>0, ∴f(a)<f(b), ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. (2)∵f(4)=1, ∴f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=2, 不等式即不等式即:f(x(x+6))<f(16), ∵f(x)在(0,+∞)上是增函数. ∴x(x+6)<16,∴x<-8 或x>2, f(x)定义域是(0,+∞), ∴x>2, ∴不等式的解集是{ x|x>2}. (3)由(2)的结果知, x∈[4,16]时,f(x)≤f(16)=2,∴a≥2. ∴实数a的取值范围是 a≥2. |
举一反三
已知对∀x,y>0,有f(x,x)=x,f(x,y)=f(y,x),(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y) (1)求f(1,4),f(2,8)的值; (2)求f(1,n),f(2,2n),其中n∈N*; (3)求证:f(2,2n)>f(1,n)对∀n∈N*恒成立. |
已知函数f(x)= | (3-a)x-3 (x≤7) | ax-6 (x>7) |
| | ,数列an满足an=f(n)(n∈N*),且an是递增数列,则实数a的取值范围是 ______ |
对实数a,b定义一种运算:a⊗b=n(n为常数),具有性质(a+1)⊗b=n+1,a⊗(b+1)=n-2.若1⊗1=2,则2011⊗2011=______. |
定义域为R的函数y=f(x)满足: ①f(x+)=-f(x); ②函数在[,]的值域为[m,2],并且∀x1,x2∈[,],当x1<x2时恒有f(x1)<f(x2). (1)求m的值; (2)若f(+x)=-f(-x),并且f(sinx+)>0求满足条件的x的集合; (3)设y=g(x)=2cos2x+sinx+m+2,若对于y在集合M中的每一个值,x在区间(0,π)上恰有两个不同的值与之对应,求集合M. |
函数f(x)=,若f(1)+f(a)=2,则a=______. |
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