定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0当x>0,f(x)>1且对于任意的a,b∈R有,f(a+b)=f(a)f(b),(1)证明:f(0)=1.(2)证明:
题型:解答题难度:一般来源:不详
定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0当x>0,f(x)>1且对于任意的a,b∈R有,f(a+b)=f(a)f(b),(1)证明:f(0)=1.(2)证明:对于任意的x∈R,恒有f(x)>0. |
答案
证明:(1)因为f(a+b)=f(a)f(b), 令式中a=b=0得:f(0)=f(0)f(0),因f(0)≠0, 所以等式两同时消去f(0),得:f(0)=1. (2)令f(a+b)=f(a)f(b)中a=b=,于是f(x)=f(0.5x)f(0.5x)=(f(0.5x))2≥0. 因为f(0)≠0,所以对于任意的x∈R,恒有f(x)>0. |
举一反三
已知f(x)=3x,下列运算不正确的是( )A.f(x)•f(y)=f(x+y) | B.=f(x-y) | C.f(x)•f(y)=f(x•y) | D.f(log34)=4 |
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设函数f(x)是定义域在(0,+∞),且对任意m,n∈(0,+∞)都有f(mn)=f(m)+f(n),f(4)=1,当x>1时,恒有f(x)>0 (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数 (2)解不等式f(x+6)+f(x)<2 (3)若∀x∈[4,16],都有f(x)≤a,求实数a的取值范围 |
已知对∀x,y>0,有f(x,x)=x,f(x,y)=f(y,x),(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y) (1)求f(1,4),f(2,8)的值; (2)求f(1,n),f(2,2n),其中n∈N*; (3)求证:f(2,2n)>f(1,n)对∀n∈N*恒成立. |
已知函数f(x)= | (3-a)x-3 (x≤7) | ax-6 (x>7) |
| | ,数列an满足an=f(n)(n∈N*),且an是递增数列,则实数a的取值范围是 ______ |
对实数a,b定义一种运算:a⊗b=n(n为常数),具有性质(a+1)⊗b=n+1,a⊗(b+1)=n-2.若1⊗1=2,则2011⊗2011=______. |
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