已知函数f(n),(n∈N),满足条件:①f(2)=2;②f(xy)=f(x)•f(y);③f(n)∈N; ④当x>y时,有f(x)>f(y). (1)求f(
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(n),(n∈N),满足条件:①f(2)=2;②f(xy)=f(x)•f(y); ③f(n)∈N; ④当x>y时,有f(x)>f(y). (1)求f(1),f(3)的值. (2)由f(1)f(2),f(3)的值,猜想f(n)的解析式. (3)证明你猜想的f(n)的解析式的正确性. |
答案
(1):∵f(2)=f(2×1)=f(2)•f(1),又f(2)=2,∴f(1)=1.又∵f(4)=f(2•2)=f(2)•f(2)=4,2=f(2)<f(3)<f(4)=4,且f(3)∈N.∴f(3)=3. (2)由f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3猜想f(n)=n(n∈N). (3)用数学归纳法证明: ①当n=1时,f(1)=1,函数解析式成立; ②假设n≤k时,f(k)=k,函数解析式成立; (i)若k+1=2m(m∈N),f(k+1)=f(2m)=f(2)•f(m)=2m=k+1. (ii)若k+1=2m+1(m∈N),f(2m+2)=f[2(m+1)]=f(2)•f(m+1)=2(m+1)=2m+2,2m=f(2m)<f(2m+1)<f(2m+2)=2m+2.∴f(2m+1)=2m+1=k+1. 即n=k+1时,函数解析式成立. 综合①②可知,f(n)=n(n∈N)成立. |
举一反三
已知an=(正整数m为常数),则an=______. |
f(x)=,则方程x+1=(1-2x)f(x)的各个解之和为______. |
某分公司经销某种产品,每件产品的成本为6元,并且每件产品需向总公司交a元(2≤a≤6)的管理费,预计当每件产品的售价为x元(13≤x≤14)时,一年的销售量为16-x万件. (1)求分公司一年的利润y(万元)与每件产品的售价x的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润y最大,并求出y的最大值M(a). |
设f(x)=|x|+2|x-a|(a>0). (1)当a=1时,解不等式f(x)≤8. (2)若f(x)≥6恒成立,求实数a的取值范围. |
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