定义在非零实数集上的函数f(x)对任意非零实数x,y恒有f(xy)=f(x)+f(y),当x∈(0,+∞)时,f(x)为增函数,且f(2)=1.(1)求f(1)
题型:解答题难度:一般来源:不详
定义在非零实数集上的函数f(x)对任意非零实数x,y恒有f(xy)=f(x)+f(y),当x∈(0,+∞)时,f(x)为增函数, 且f(2)=1. (1)求f(1),f(-1)的值,并求证:f(x)为偶函数; (2)判断并证明f(x)在(-∞,0)的单调性; (3)解不等式:f(x)-f(x-2)>3. |
答案
(1)令x=y=1得: f(1)=f(-1)=0, f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x) ∴f(x)为偶函数; (2)f(x)在(-∞,0)为单调减函数; 设x1,x2∈R且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1] ∵x1-x2<0 ∴f(x1-x2)>f(0)=1 ∴f(x1-x2)-1>0 对f(x2)>0 ∴f(x2)f[(x1-x2)-1]>0 ∴f(x1)>f(x2)故f(x)在(-∞,0)上是减函数. (3)f(2)=1得f(4)=2,f(8)=3, 所以f(x)>f(x-2)+f(8)=f(8x-16) 根据奇偶性和单调性得|x|>|8x-16|,x2>(8x-16)2,即63x2-256x+256<0 解得:<x<且x≠2. |
举一反三
据监测:服用某抗感冒药后每毫升血液中的含药量f(x)(单位:微克)与时间x(单位:小时)之间满足:f(x)= | x,(0≤x≤4) | 4+log0.5(x-3),(x>4) |
| | .据测定:每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效.则服用这种药一次能维持的有效时间为______小时. |
在函数y=中,若f(x)=1,则x的值是______. |
已知f(x)=且0<|m|<1,0<|n|<1,mn<0,则使不等式f(m)+f(n)>0成立的m和n还应满足条件______. |
已知函数f(x)满足f(a+b)=f(a)•f(b),且f(x)>0(x∈R)若f(1)=,则f(-2)等于______. |
已知函数f(x)=’若f(x)在(0,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围为( ) |
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