已知函数y=f（x）的图象过点（-2，-3），且满足f（x-2）=ax2-（a-3）x+（a-2），设g（x）=f[f（x）]，F（x）=pg（x）-4f（x）

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数y=f（x）的图象过点（-2，-3），且满足f（x-2）=ax²-（a-3）x+（a-2），设g（x）=f[f（x）]，F（x）=pg（x）-4f（x）
（I）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）是否存在正实数p，使F（x）在（-∞，f（2））上是增函数，在（f（2），0）上是减函数？若存在，求出p；若不存在，请说明理由．

答案

（I）令x-2=t，则x=2+t∴f（t）=a（2+t）²-（a-3）（2+t）+（a-2）∵f（-2）=-3∴a-2=-3，∴a=-1（13分）
∴f（t）=-（2+t）²+4（2+t）-3=-t²+1，即f（x）=-x²+1（15分）
（II）g（x）=f[f（x）]=f（-x²+1）=-（-x²+1）²+1=-x⁴+2x²F（x）=pg（x）-4f（x）=p（-x⁴+2x²）-4（-x²+1）=-px⁴+（2p+4）x²-4Fn（x）=-4px³+4（p+2）x=-4x（px²-p-2）
∵f（2）=-3，假设存在正实数p，使F（x）在（-∞，-3）上是增函数，在（-3，0）上是减函数∴Fn（-3）=0，解得p=

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（10分）
当p=

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时，Fn（x）=-x³+9x=x（3-x）（3+x）
当x＜-3时，Fn（x）＞0∴F（x）在（-∞，-3）上是增函数
当-3＜x＜0时，Fn（x）＜0∴F（x）在（-3，0）上是减函数
∴存在正实数p=

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，使得F（x）在（-∞，-3）上是增函数，在（-3，0）上是减函数（14分）