已知集合M={f(x)|f(x)+f(x+2)=f(x+1),x∈R},g(x)=sinπx3.(1)判断g(x)与M的关系,并说明理由;(2)M中的元素是否都

已知集合M={f(x)|f(x)+f(x+2)=f(x+1),x∈R},g(x)=sinπx3.(1)判断g(x)与M的关系,并说明理由;(2)M中的元素是否都

题型:解答题难度:一般来源:上海模拟
已知集合M={f(x)|f(x)+f(x+2)=f(x+1),x∈R},g(x)=sin
πx
3

(1)判断g(x)与M的关系,并说明理由;
(2)M中的元素是否都是周期函数,证明你的结论;
(3)M中的元素是否都是奇函数,证明你的结论.
答案
(1)∵g(x)+g(x+2)=sin
πx
3
+sin(
πx
3
+
3
)=2sin
π
3
(x+1)cos
π
3

=sin
π
3
(x+1)=g(x+1)
∴g(x)∈M…(6分)
(2)因g(x)是周期为6的周期函数,猜测f(x)也是周期为6的周期函数
由f(x)+f(x+2)=f(x+1),得f(x+1)+f(x+3)=f(x+2),
∴f(x)+f(x+2)+f(x+1)+f(x+3)=f(x+1)+f(x+2)
∴f(x)+f(x+3)=0,∴f(x+3)=-f(x),
∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x),得证f(x)是周期为6的周期函数,
故M中的元素都是周期为6的周期函数.…(12分)
(3)令h(x)=cos
πx
3
,可证得h(x)+h(x+2)=h(x+1)…(16分)
∴h(x)∈M,但h(x)是偶函数,不是奇函数,
∴M中的元素不都是奇函数.…(18分)
举一反三
已知函数y=f(x)的定义域为R+,对任意x,y∈R+,有恒等式f(xy)=f(x)+f(y);且当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)求证:当x∈R+时,恒有f(
1
x
)=-f(x)

(3)求证:f(x)在(0,+∞)上为减函数;
(4)由上一小题知:f(x)是(0,+∞)上的减函数,因而f(x)的反函数f-1(x)存在,试根据已知恒等式猜想f-1(x)具有的性质,并给出证明.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设函数y=f(x)是定义在R+上的函数,并且满足下面三个条件:
(1)对任意正数x、y,都有f(xy)=f(x)+f(y);
(2)当x>1时,f(x)<0;
(3)f(3)=-1,
(I)求f(1)、f(
1
9
)
的值;
(II)如果不等式f(x)+f(2-x)<2成立,求x的取值范围.
(III)如果存在正数k,使不等式f(kx)+f(2-x)<2有解,求正数k的取值范围.
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已知从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)=1.06(0.5[m]+1)元给出,其中m>0,[m]表示不超过m的最大整数,(如[3]=3,[3.2]=3),则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为(  )
A.3.71B.3.97C.4.24D.4.77
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知方程x3+ax2+bx+c=0的三个实根可分别作为一个椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率.(1)求a+b+c的值;(2)求
b
a
的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
某宾馆有相同标准的床位100张,根据经验,当该宾馆的床价(即每张床位每天的租金)不超过10元时,床位可以全部租出;当床位高于10元时,每提高1元,将有3张床位空闲. 为了获得较好的效益,该宾馆要给床位定一个合适的价格,条件是:①要方便结帐,床价应为1元的整数倍;②该宾馆每日的费用支出为575元,床位出租的收入必须高于支出,而且高得越多越好.若用x表示床价,用y表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的费用支出后的收入):
(1)把y表示成x的函数;
(2)试确定,该宾馆将床价定为多少元时,既符合上面的两个条件,又能使净收入高?
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