已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时,f(x)>0,f(4)=1,(1)求证:f(1)
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已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时,f(x)>0,f(4)=1,(1)求证:f(1)
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意的正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时,f(x)>0,f(4)=1,
(1)求证:f(1)=0;
(2)求f(
1
16
);
(3)解不等式f(x)+f(x-3)≤1.
答案
(1)证明:令x=4,y=1,则f(4)=f(4×1)=f(4)+f(1).
∴f(1)=0.
(2)f(16)=f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(1)=f(
1
16
×16)=f(
1
16
)+f(16)=0,
故f(
1
16
)=-2.
(3)设x
1
,x
2
>0且x
1
>x
2
,于是f(
x
1
x
2
)>0,
∴f(x
1
)=f(
x
1
x
2
×x
2
)=f(
x
1
x
2
)+f(x
2
)>f(x
2
).
∴f(x)为x∈(0,+∞)上的增函数.
又∵f(x)+f(x-3)=f[x(x-3)]≤1=f(4),
∴
x>0
x-3>0
x(x-3)≤4
⇒3<x≤4.
∴原不等式的解集为{x|3<x≤4}.
举一反三
已知函数f(x),对任意实数x、y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),试判别f(x)的奇偶性______.
题型:填空题
难度:简单
|
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已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,对任意m>0,n>0,都有f(m﹒n)=f(m)+f(n)-2,且当x>1时,f(x)>2,设f(x)在[
1
10
,10]上的最大值为P,最小值为Q,则P+Q=______.
题型:填空题
难度:一般
|
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函数f(x)=
x (x>1)
-1 (x≤1)
,则不等式xf(x)-x≤2的解集为______
题型:填空题
难度:一般
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设函数f(x)=
2
x
,(x<2)
2x
x+3
,,(x≥2)
,若f(x
0
)>1,则x
0
的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知f(x)为偶函数,且f(1+x)=f(3-x),当-2≤x≤0时,f(x)=3
x
,若n∈N
*
,a
n
=f(n),则a
2011
=( )
A.
-
1
3
B.3
C.-3
D.
1
3
题型:单选题
难度:简单
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