已知f（x）为偶函数，且f（1+x）=f（3-x），当-2≤x≤0时，f（x）=3x，若n∈N*，an=f（n），则a2011=（　　）A．-13B．3C．-3

题型：单选题难度：简单来源：不详

已知f（x）为偶函数，且f（1+x）=f（3-x），当-2≤x≤0时，f（x）=3^x，若n∈N^*，a_n=f（n），则a₂₀₁₁=（　　）

A．-

B．3

C．-3

D．

答案

∵f（1+x）=f（3-x）
∴f（x）=f（4-x）
又∵f（x）为偶函数，
∴f（x）=f（-x）
∴f（-x）=f（4-x）．即函数的周期T=4．
∴a₂₀₁₁=a₅₀₂₊₃=a₃=f（3）=f（-1）=3^-1=

故选：D．

举一反三

已知f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（4）=1，对任意x₁，x₂（0，+∞），都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），当x∈（0，1）时，f（x）＜0．
（1）求f（1）；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式f（3x+1）+f（2x-6）≤3．

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已知f（x）为R上的偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）且当x₁，x₂∈[0，3]，x₁≠x₂时，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，给出四个命题：
①f（3）=0； ②直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数； ④函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知函数f(x)=

3x+1	，x≤0
log2x	，x＞0

，若f（x₀）≥1，则x₀的取值范围为______．

题型：填空题难度：一般| 查看答案

设f(x)=

1当x为有理数时

0当x为无理数时

，对所有实数x均满足xf（x）≤g（x），那么函数g（x）可以是（　　）

A．g（x）=sinx

B．g（x）=x

C．g（x）=x²

D．g（x）=|x|

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已知f（x）是定义在实数集R上的不恒为0的函数，对任意实数x，y有f（x）f（y）=f（x+y），当x＞0时，有0＜f（x）＜1．
（Ⅰ）求f（0）的值，并证明f（x）恒正；
（Ⅱ）判断f（x）在实数集R上单调性；
（Ⅲ）设S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=

，a_n=f（n）（n为正整数）．令b_n=f（S_n），问数列{b_n}中是否存在最大项？若存在，求出最大项的值；若不存在，试说明理由．

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