已知f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(4)=1,对任意x1,x2(0,+∞),都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),当x∈(0,1)时,f(x)
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(4)=1,对任意x1,x2(0,+∞),都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2),当x∈(0,1)时,f(x)<0. (1)求f(1); (2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数; (3)解不等式f(3x+1)+f(2x-6)≤3. |
答案
(1)∵对任意x1,x2(0,+∞),都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2), 令x1=x2=1, f(1•1)=f(1)+f(1), 则f(1)=0(2分) (2)设x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2, ∵对任意x1,x2(0,+∞),都有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2), ∴则f(x1)-f(x2)=f() ∵0<x1<x2, ∴0<<1,又当x∈(0,1)时,f(x)<0,∴f(x1)-f(x2)=f()<0, ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数(7分) (3)令x1=x2=4,则f(16)=f(4)+f(4)=2, 令x1=4,x2=16,则f(64)=f(4)+f(16)=3(9分) ∴f(3x+1)+f(2x-6)≤3=f(64) ∴ | 3x+1>0 | 2x-6>0 | (3x+1)(2x-6)≤64 |
| | ∴x∈(3,5](12分) |
举一反三
已知f(x)为R上的偶函数,对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)且当x1,x2∈[0,3],x1≠x2时,有>0成立,给出四个命题: ①f(3)=0; ②直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴; ③函数y=f(x)在[-9,-6]上为增函数; ④函数y=f(x)在[-9,9]上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为______. |
已知函数f(x)=,若f(x0)≥1,则x0的取值范围为______. |
设f(x)=,对所有实数x均满足xf(x)≤g(x),那么函数g(x)可以是( )A.g(x)=sinx | B.g(x)=x | C.g(x)=x2 | D.g(x)=|x| |
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已知f(x)是定义在实数集R上的不恒为0的函数,对任意实数x,y有f(x)f(y)=f(x+y),当x>0时,有0<f(x)<1. (Ⅰ)求f(0)的值,并证明f(x)恒正; (Ⅱ)判断f(x)在实数集R上单调性; (Ⅲ)设Sn为数列{an}的前n项和,a1=,an=f(n)(n为正整数).令bn=f(Sn),问数列{bn}中是否存在最大项?若存在,求出最大项的值;若不存在,试说明理由. |
已知函数f(x)定义在(-1,1)上,对于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(),且当x<0时,f(x)>0. (Ⅰ)验证函数f(x)=ln是否满足这些条件; (Ⅱ)判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性,并加以证明. |
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