定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．（1）试求f（0）的值；（2）判断f（x）
题型：解答题难度：一般来源：不详
定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）试求f（0）的值；
（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论；
（3）若不等式f[（t-2）（|x-4|-|x+4|）]＞f（t2-4t+13）对t∈[4，6]恒成立，求实数x的取值范围． |
答案
（1）令m=1，n=0，则f（1）=f（1）f（0），又0＜f（1）＜1，故f（0）=1
（2）当x＜0时，-x＞0，则0＜f(-x)＜1⇒f(x)=＞0
即对任意x∈R都有f（x）＞0
对于任意x1＞x2，=f(x1-x2)＜1⇒f(x1)＜f(x2)
即f（x）在R上为减函数．
（3）∵y=f（x）为R上的减函数
∴f[（t-2）（|x-4|-|x+4|）]＞f（t2-4t+13）
⇔（t-2）（|x-4|-|x+4|）＜t2-4t+13⇔|x-4|-|x+4|＜
由题意知，|x-4|-|x+4|＜()min
而=(t-2)+∈[6， 6]
∴须|x-4|-|x+4|＜6，解不等式得x＞-3
所以原不等式的解集为：{x：x＞-3}． |
举一反三
设f(x)=和g(x)=
求：g()+f()+g()+f()的值． |
已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x1，x2都满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），当x＜0时，f（x）＜0．
（1）判断并证明f（x）的单调性和奇偶性
（2）是否存在这样的实数m，当θ∈[0，]时，使不等式f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-]+f(3+2m)＞0
对所有θ恒成立，如存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． |
| 已知实数a≠0，函数f(x)=若f（1-a）=f（1+a），则a的值为______． |
| 设f（x）=且f（2）=1，则f(f()) 的值______． |
| 已知函数f(x)=，若f（a）＞f（-a），求实数a的取值范围． |
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