(1)令x=y=0,有f(0)=0,令x1=x,x2=-x,有f(-x)+f(x)=f(x-x)=f(0)=0, 即f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数. 在R上任取x1<x2,则x1-x2<0,由题意知f(x1-x2)<0,则f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0, 故f(x)是增函数. (2)要使f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-]+f(3+2m)>0, 只须 f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-]>-f(3+2m)=f(-3-2m). 又由f(x)为单调增函数有 sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)->-3-2m. 令t=sinθ+cosθ,则sin2θ=t2-1,∵θ∈[0,],∴t=sin(θ+)∈[1,]. 原命题等价于 t2-1-(m+2)t-+3+2m>0对t∈[1,] 恒成立, ∴(2-t)m>2t-t2+-2,即m>=t+, 令g(t)=t+,g(t)在[1,]上为减函数,故 g(t)的最大值为3,∴m>3时,原命题成立. |