函数y=f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.(1)求f(0)的值;(2)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)的值,猜
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函数y=f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.(1)求f(0)的值;(2)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)的值,猜
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
函数y=f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.
(1)求f(0)的值;
(2)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)的值,猜想f(n)的表达式并用数学归纳法证明你的结论;
(3)若f(1)≥1,求证:
f(
1
2
n
)>0(n∈
N
*
)
.
答案
(1)令x=y=0得f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0⇒f(0)=0
(2)f(1)=1,
f(2)=f(1+1)=1+1+2=4
f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9
f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16
猜想f(n)=n
2
,下用数学归纳法证明之.
①当n=1时猜想成立.
②假设n=k时猜想成立,即:f(k)=k
2
,
那么f(k+1)=f(k)+f(1)+2k=k
2
+2k+1=(k+1)
2
.
这就是说n=k+1时猜想也成立.
对于一切n≥1,n∈N
+
猜想都成立.
(3)f(1)≥1,则
f(1)=2f(
1
2
)+2×
1
2
×
1
2
≥1⇒f(
1
2
)≥
1
4
>0
假设n=k(k∈N
*
)时命题成立,即
f(
1
2
k
)≥
1
2
2k
>0
,则
f(
1
2
k
)=2f(
1
2
k+1
)+2×
1
2
k+1
×
1
2
k+1
≥
1
2
2k
⇒f(
1
2
k+1
)≥
1
2
2(k+1)
,
由上知,则
f(
1
2
n
)>0(n∈
N
*
)
.
举一反三
函数
f(x)=
2
-x
-1 x≤0
x
1
2
x>0
,满足f(x)>1的x的取值范围是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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设a∈R,函数f(x)=
-
1
x
+a,x<0
x
(x-a)-1,x>0
(Ⅰ)当a=2时,试确定函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对任何x∈R,且x≠0,都有f(x)>x-1,求a的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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若定义在正整数有序对集合上的二元函数f满足:①f(x,x)=x,②f(x,y)=f(y,x);③(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y),则f(12,16)的值是( )
A.12
B.16
C.24
D.48
题型:单选题
难度:一般
|
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设函数
f(x)=
2
-x
-1
x≤0
x
1
2
x>0
若f(x
0
)>1,则x
0
的取值范围是( )
A.(-1,1)
B.(-1,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,+∞)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
题型:单选题
难度:一般
|
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已知函数
f(x)=
2
3
x-1(x≥0)
1
x
(x<0)
,若f(a)>a,则实数a的取值范围为
( )
A.(-∞,-3)
B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)
D.(0,1)
题型:单选题
难度:简单
|
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