对定义域是Df,Dg的函数y=f(x),y=g(x),规定:函数h(x)=.(1)若函数f(x)=,g(x)=x2,写出函数h(x)的解析式;(2)求问题(1)

对定义域是Df,Dg的函数y=f(x),y=g(x),规定:函数h(x)=.(1)若函数f(x)=,g(x)=x2,写出函数h(x)的解析式;(2)求问题(1)

题型:解答题难度:一般来源:湖南省月考题
对定义域是Df,Dg的函数y=f(x),y=g(x),
规定:函数h(x)=
(1)若函数f(x)=,g(x)=x2,写出函数h(x)的解析式;
(2)求问题(1)中函数h(x)的值域;
(3)若g(x)=f(x+α),其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.
答案
解:
(1)h(x)=
(2)当x≠1时,h(x)==x﹣1++2,
若x>1时,则h(x)≧4,其中等号当x=2时成立
若x<1时,则h(x)≦0,其中等号当x=0时成立
∴函数h(x)的值域是(﹣∞,0]∪{1}∪[4,+?)
(3)令f(x)=sin2x+cos2x,α=
则g(x)=f(x+α)=sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x﹣sin2x,
于是h(x)=f(x)f(x+α)=(sin2x+co2sx)(cos2x﹣sin2x)=cos4x.
另解令f(x)=1+sin2x,α=,g(x)=f(x+α)=1+sin2(x+π)=1﹣sin2x,
于是h(x)=f(x)f(x+α)=(1+sin2x)(1﹣sin2x)=cos4x.
举一反三
某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间大体满足关系:P=(其中c为小于6的正常数)(注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品)已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量.
(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数;
(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?
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定义在[0,1]上的函数f(x)满足f(0)=0,f(x)+f(1﹣x)=1,f()=f(x),且当0≦x1<x2≦1时f(x1)≦f(x2),则f()等于[     ]
A.
B.
C.
D.
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=,则不等式f(2﹣x2)<f(x)的解集是(    )。
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数若f(x)=2,则x=(    )。
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=,在x=1处连续,则实数m=[     ]
A.
B.
C.
D.
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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