对定义域是Df，Dg的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）=．（1）若函数f（x）=，g（x）=x2，写出函数h（x）的解析式；（2）求问题（1）

题型：解答题难度：一般来源：湖南省月考题

对定义域是D_f，D_g的函数y=f（x），y=g（x），
规定：函数h（x）=．
（1）若函数f（x）=，g（x）=x₂，写出函数h（x）的解析式；
（2）求问题（1）中函数h（x）的值域；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．

答案

解：
（1）h（x）=．
（2）当x≠1时，h（x）==x﹣1++2，
若x＞1时，则h（x）≧4，其中等号当x=2时成立
若x＜1时，则h（x）≦0，其中等号当x=0时成立
∴函数h（x）的值域是（﹣∞，0]∪{1}∪[4，+?）
（3）令f（x）=sin2x+cos2x，α=
则g（x）=f（x+α）=sin2（x+）+cos2（x+）=cos2x﹣sin2x，
于是h（x）=f（x）f（x+α）=（sin2x+co2sx）（cos2x﹣sin2x）=cos4x．
另解令f（x）=1+sin2x，α=，g（x）=f（x+α）=1+sin2（x+π）=1﹣sin2x，
于是h（x）=f（x）f（x+α）=（1+sin2x）（1﹣sin2x）=cos4x．