已知函数f（x）=x2-2|x|．（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；（Ⅱ）判断函数f（x）在（-1，0）上的单调性并加以证明．
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）=x2-2|x|．
（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（-1，0）上的单调性并加以证明． |
答案
（Ⅰ）是偶函数．
证明：函数的定义域是R，
∵f（-x）=（-x）2-2|-x|=x2-2|x|=f（x）
∴函数f（x）是偶函数．
（Ⅱ）是单调递增函数．
证明：当x∈（-1，0）时，f（x）=x2+2x
设-1＜x1＜x2＜0，则x1-x2＜0，且x1+x2＞-2，即x1+x2+2＞0
∵f(x1)-f(x2)=(-)+2(x1-x2)=（x1-x2）（x1+x2+2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
所以函数f（x）在（-1，0）上是单调递增函数． |
举一反三
已知函数f（x）的图象关于y轴对称，并且是[0，+∞）上的减函数，若f（lgx）＞f（1），则实数x的取值范围是（ ）| A．(，1) | B．(，100) | C．(，10) | D．（0，1） |
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已知函数f（x）=x2+（x≠0，a∈R）
（1）当a为何值时，函数f（x）为偶函数；
（2）若f（x）在区间[2，+∞）是增函数，求实数a的取值范围． |
| 已知函数f（n）=其中n∈N，则f（8）等于（ ） |
| 若函数f（x）=x2+（a-1）x+a在区间[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围______． |
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