已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a＞0)，F(x)=，若f(-1)=0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈[-2

题型：解答题难度：一般来源：0112 期末题

已知二次函数f(x)=ax²+bx+1(a＞0)，F(x)=，若f(-1)=0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，
(1)求F(x)的表达式；
(2)当x∈[-2，2]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求k的取值范围．

答案

解：(1)∵f(-1)=0，
∴a-b+1=0，
∴b=a+1，
∴f(x)=ax²+(a+1)x+1，
∵f(x)≥0恒成立，
∴，∴，
∴a=1，从而b=2，
∴f(x)=x²+2x+1，
∴F(x)=。
(2)g(x)=x²+2x+1-kx=x²+(2-k)x+1，
∵g(x)在[-2，2]上是单调函数，
∴≤-2或≥2，
解得k≤-2或k≥6，
所以所求k的取值范围为k≤-2或k≥6。