(I)函数f(x)=x3+ax2+bx+1(x∈R),a,b∈R.函数f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为y=x+4. 所以f′(x)=3x2+2ax+b,所以f′(1)=3+2a+b=1…①,函数经过(1,f(1)),即:5=1+a+b+1…②; 解①②得:a=-5,b=8; 所以函数的解析式为:f(x)=x3-5x2+8x+1. (Ⅱ)由(1)可知f′(x)=3x2-10x+8,令3x2-10x+8=0,即x=2,x=,当x<时函数是增函数,≤x≤2时函数是减函数,x>2时,函数是增函数,函数f(x)在区间(k,k+)上是单调函数, 所以k≤或k=或k≥2时,满足题意. |