已知a,x∈R,函数f(x)=sin2x-(22+2a)sin(x+π4)-22cos(x-π4).(1)设t=sinx+cosx,把函数f(x)表示为关于t的
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已知a,x∈R,函数f(x)=sin2x-(22+2a)sin(x+π4)-22cos(x-π4).(1)设t=sinx+cosx,把函数f(x)表示为关于t的
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知a,x∈R,函数
f(x)=sin2x-(2
2
+
2
a)sin(x+
π
4
)-
2
2
cos(x-
π
4
)
.
(1)设t=sinx+cosx,把函数f(x)表示为关于t的函数g(t),求g(t)表达式和定义域;
(2)对任意
x∈[0,
π
2
]
,函数f(x)>-3-2a恒成立,求a的取值范围.
答案
(1)∵
t=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
)∈[-
2
,
2
]
,
又t
2
=sin
2
x+cos
2
x+2sinxcosx,
∴
sinxcosx=
t
2
-1
2
.
∵
f(x)=2sinxcosx-(2+a)(sinx+cosx)-
4
sinx+cosx
.
∴
f(x)=g(t)=
t
2
-(2+a)t-
4
t
-1
,定义域:
[-
2
,0)∪(0,
2
]
.
(2)∵
x∈[0,
π
2
]
,∴
t=sinx+cosx=
2
sin(x+
π
4
)∈[1,
2
]
,
∵函数f(x)>-3-2a恒成立,∴
t
2
-(2+a)t-
4
t
-1>-3-2a
恒成立,
得:
t
2
-2t-
4
t
+2>(t-2)a
,
∵t-2<0,∴
a>
t
2
-2t
t-2
-
4-2t
t(t-2)
=t+
2
t
=p(t)
,
设
1≤
t
1
≤
t
2
≤
2
,∵
p(
t
2
)-p(
t
1
)=(
t
2
-
t
1
)(
t
1
t
2
-2
t
1
t
2
)<0
,
∴函数p(t)在
[1,
2
]
上是递减函数,
∴a>p
max
(x)=p(1)=3.
举一反三
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2
+x+1,则当x<0时,f(x)=______.
题型:填空题
难度:一般
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难度:一般
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题型:填空题
难度:一般
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题型:解答题
难度:一般
|
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若f[g(x)]=4x
2
+6x+2,且g(x)=2x+1,则f(x)是( )
A.x
2
+x
B.x
2
-x
C.x
2
+2x
D.x
2
+x+1
题型:单选题
难度:简单
|
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