已知函数f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（2，4），且f（x）在[0，4]上的最大值是8，（1）求f（x）的解析式．（2）若g(x)=kx-1，当
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知函数f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（2，4），且f（x）在[0，4]上的最大值是8，
（1）求f（x）的解析式．
（2）若g(x)=-1，当关于x的方程f（x）=g（x）有且只有一个根时，求实数k的取值范围． |
答案
（1）∵函数f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（2，4）
∴可设f（x）=a（x-2）（x-4）（其中a＞0）
∴f（x）图象的对称轴为x=3
∴f（x）在[0，4]上的最大值是f（0）
∵f（x）在[0，4]上的最大值是8
∴f（0）=8a=8
∴a=1
∴f（x）=x2-6x+8
（2）方程f（x）=g（x）恒等变形为x3-6x2+9x-k=0（x≠0）
设F（x）=x3-6x2+9x（x∈R）
则F′（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3）
∴当x∈（-∞，1）∪（3，+∞）时，F"（x）＞0
当x∈（1，3）时，F′（x）＜0
∴F（x）在（-∞，1）和（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上递减
∴当x=1时，F（x）取得极大值4
当x=3时，F（x）取得极小值0
又∵F（0）=0
∴当方程x3-6x2+9x-k=0（x≠0）有且只有一个根时k≤0或k＞4 |
举一反三
| 若f（x）=x-1，则方程f（4x）=4x2的解是（ ） |
设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）满足：∀x∈R都有f（x）+f（-x）=0，且x=1时，f（x）取极小值-．
（1）f（x）的解析式；
（2）当x∈[-1，1]时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直：
（3）设F（x）=|xf（x）|，证明：x∈(0，)时，F(x)≤． |
函数f（x）=x2+（2-a）x+a-1是偶函数．
（1）试求f（x）的解析式．
（2）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程是______． |
已知f（x）=x2+C，且f[f（x）]=f（x2+1）
（1）设g（x）=f[（x）]，求g（x）的解析式．
（2）设ϑ（x）=g（x）-λf（x），试问是否存在实数λ，使ϑ（x）在（-∞，-1）上是减函数，并且在（-1，0）上是增函数． |
对定义域分别是F、G的函数y=f（x）、y=g（x），规定：函数h（x）=
| | | f(x)+g(x)，当x∈F且x∈G | | | f(x)，当x∈F且x∉G | |
| |
| | g(x)，当x∉F且x∈G |
| |
已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx（a∈R）．
（1）求函数h（x）的解析式；
（2）对于实数a，函数h（x）是否存在最小值，如果存在，求出其最小值；如果不存在，请说明理由． |
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