已知函数f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(2,4),且f(x)在[0,4]上的最大值是8,(1)求f(x)的解析式.(2)若g(x)=kx-1,当
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(2,4),且f(x)在[0,4]上的最大值是8, (1)求f(x)的解析式. (2)若g(x)=-1,当关于x的方程f(x)=g(x)有且只有一个根时,求实数k的取值范围. |
答案
(1)∵函数f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(2,4) ∴可设f(x)=a(x-2)(x-4)(其中a>0) ∴f(x)图象的对称轴为x=3 ∴f(x)在[0,4]上的最大值是f(0) ∵f(x)在[0,4]上的最大值是8 ∴f(0)=8a=8 ∴a=1 ∴f(x)=x2-6x+8 (2)方程f(x)=g(x)恒等变形为x3-6x2+9x-k=0(x≠0) 设F(x)=x3-6x2+9x(x∈R) 则F′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3) ∴当x∈(-∞,1)∪(3,+∞)时,F"(x)>0 当x∈(1,3)时,F′(x)<0 ∴F(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递增,在(1,3)上递减 ∴当x=1时,F(x)取得极大值4 当x=3时,F(x)取得极小值0 又∵F(0)=0 ∴当方程x3-6x2+9x-k=0(x≠0)有且只有一个根时k≤0或k>4 |
举一反三
若f(x)=x-1,则方程f(4x)=4x2的解是( ) |
设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a、b、c、d∈R)满足:∀x∈R都有f(x)+f(-x)=0,且x=1时,f(x)取极小值-. (1)f(x)的解析式; (2)当x∈[-1,1]时,证明:函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直: (3)设F(x)=|xf(x)|,证明:x∈(0,)时,F(x)≤. |
函数f(x)=x2+(2-a)x+a-1是偶函数. (1)试求f(x)的解析式. (2)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程是______. |
已知f(x)=x2+C,且f[f(x)]=f(x2+1) (1)设g(x)=f[(x)],求g(x)的解析式. (2)设ϑ(x)=g(x)-λf(x),试问是否存在实数λ,使ϑ(x)在(-∞,-1)上是减函数,并且在(-1,0)上是增函数. |
对定义域分别是F、G的函数y=f(x)、y=g(x),规定:函数h(x)=
| | f(x)+g(x),当x∈F且x∈G | | f(x),当x∈F且x∉G | |
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| g(x),当x∉F且x∈G |
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已知函数f(x)=x2,g(x)=alnx(a∈R). (1)求函数h(x)的解析式; (2)对于实数a,函数h(x)是否存在最小值,如果存在,求出其最小值;如果不存在,请说明理由. |
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