已知f（x）=x2+C，且f[f（x）]=f（x2+1）（1）设g（x）=f[（x）]，求g（x）的解析式．（2）设ϑ（x）=g（x）-λf（x），试问是否存在
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知f（x）=x2+C，且f[f（x）]=f（x2+1）
（1）设g（x）=f[（x）]，求g（x）的解析式．
（2）设ϑ（x）=g（x）-λf（x），试问是否存在实数λ，使ϑ（x）在（-∞，-1）上是减函数，并且在（-1，0）上是增函数． |
答案
（1）由题意可知：
f（x）=x2+C，且f[f（x）]=f（x2+1）
∴（x2+c）2+c=（x2+1）2+c
∴x4+2cx2+c2=x4+2x2+1
∴，解得：c=1．
∴f（x）=x2+1，∵g（x）=f[（x）]，
∴函数g（x）的解析式为：g（x）=x4+2x2+2．
（2）由（1）可知：f（x）=x2+1、g（x）=x4+2x2+2，
∵ϑ（x）=g（x）-λf（x），
∴θ（x）=x4+（2-λ）x2+2-λ，∴θ′（x）=4x3+2（2-λ）x
假设存在使的ϑ（x）在（-∞，-1）上是减函数，并且在（-1，0）上是增函数．
则θ′（-1）=0
∴-4-2（2-λ）=0，∴λ=4．
此时：θ（x）=x4-2x2-2，∴θ′（x）=4x3-4x．
由θ′（x）＞0解得，x∈（-1，0）∪（1，+∞）；
由θ′（x）＜0解得，x∈（-∞，-1）∪（0，1）．
故满足题意．
所以存在λ=4使的ϑ（x）在（-∞，-1）上是减函数，并且在（-1，0）上是增函数． |
举一反三
对定义域分别是F、G的函数y=f（x）、y=g（x），规定：函数h（x）=
| | | f(x)+g(x)，当x∈F且x∈G | | | f(x)，当x∈F且x∉G | |
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| | g(x)，当x∉F且x∈G |
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已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx（a∈R）．
（1）求函数h（x）的解析式；
（2）对于实数a，函数h（x）是否存在最小值，如果存在，求出其最小值；如果不存在，请说明理由． |
对定义域分别是Df、Dg的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）= | | f(x)•g(x) 当x∈Df且x∈Dg | | 1 当x∈Df且x∉Dg | | -1 当x∉Df且x∈Dg |
| |
．
（1）若f（α）=sinα•cosα，g（α）=cscα，写出h（α）的解析式；
（2）写出问题（1）中h（α）的取值范围；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明． |
| 已知函数f（x）=2x3+ax与g（x）=bx2+c的图象都经过点P（2，0），且在点P处有公切线，求f（x），g（x）的表达式及点P处的公切线方程． |
已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，与x轴的另一个交点为（，0），且f（）=-，数列{an} 的前n项的和为Sn，点（n，Sn）在函数y=f（x）的图象上．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求数列{an} 的通项公式；
（3）设bn=，求数列 {bn}的前n项和Tn． |
| 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P（1，1），且在点Q（2，-1）处与直线y=x-3相切，求实数a，b，c的值． |
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