设函数f(x)=ax-bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)曲线y=f(x)上任一点处的

设函数f(x)=ax-bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)曲线y=f(x)上任一点处的

题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数f(x)=ax-
b
x
,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
答案
(Ⅰ)求导函数可得:f′(x)=a+
b
x2

∵曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
∴f(2)=
1
2

∴a+
b
4
=
7
4
,2a-
b
2
=
1
2

∴a=1,b=3
∴f(x)的解析式为f(x)=x-
3
x

(Ⅱ)设(x0,x0-
3
x0
)为曲线f(x)上任一点,则切线的斜率为1+
3
x02

∴切线方程为y-(x0-
3
x0
)=(1+
3
x02
)(x-x0),
令x=0,可得y=-
6
x0

由切线方程与直线y=x联立,求得交点横坐标为x=2x0
∴曲线f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值
1
2
×|2x0|×|-
6
x0
|=6
举一反三
若函数f(x)是奇函数,且当x<0时,有f(x)=cos3x+sin2x,则当x>0时,f(x)的表达式为______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
若函数符合条件f(x)f(y)=f(x+y),则f(x)=______(写出一个即可).
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=ax2+bx+c的图象经过(-2,0),(1,5),(6,0)三个点则f(x)>0的解集是(  )
A.(-2,6)B.(-∞,-2)∪(6,+∞)C.(-2,1)D.(1,6)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x+
1
x
+2
的图象关于点A(0,1)对称.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若g(x)=f(x)+
a
x
,且g(x)在区间(0,2]
上的值不小于6,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x-1)=x2-4x,那么f(x+1)=(  )
A.x2-4x+1B.x2-4C.x2-2x-3D.x2-6x+5
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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