已知:函数f(x)=(mx+n)lnx的图象过点A(e,e)且在A处的切线斜率为2,g(x)=13x3+12ax2+6x+2(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)

已知:函数f(x)=(mx+n)lnx的图象过点A(e,e)且在A处的切线斜率为2,g(x)=13x3+12ax2+6x+2(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知:函数f(x)=(mx+n)lnx的图象过点A(e,e)且在A处的切线斜率为2,g(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2+6x+2

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)对任意的x∈(0,+∞)f(x)≤g′(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)求函数f(x)在[t,2t]上的最小值.
答案
(Ⅰ)由函数f(x)的图象过点A(e,e),所以em+n=e,①
f′(x)=mlnx+m+
n
x
,所以2m+
n
e
=2,②
联立①②解得m=1,n=0,
所以f(x)=xlnx.
(Ⅱ)由题意知,g′(x)=x2+ax+6,
f(x)≤g′(x),即xlnx≤x2+ax+6,
故a≥lnx-x-
6
x
对任意x∈(0,+∞)成立,
令h(x)=lnx-x-
6
x
(x>0),
则h′(x)=
1
x
-1+
6
x2
=
-x2+x+6
x2
=-
x2-x-6
x2
=-
(x+2)(x-3)
x2

令h′(x)=0,因为x>0,则x=3,
当0<x<3时,h′(x)>0,当x>3时,h′(x)<0,
∴x=3时h(x)取最大值,h(x)max=ln3-5.
故a≥ln3-5.所以实数a的取值范围为[ln3-5,+∞).
(III)函数的定义域为(0,+∞)
求导函数,可得f"(x)=lnx+1,…(1分)
当x∈(0,
1
e
),f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(
1
e
,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增,
①当t<
1
e
<2t时,即
1
2e
<t<
1
e
时,f(x)min=f(
1
e
)=-
1
e
; 
②当t≥
1
e
时,f(x)在[t,2t]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt;
③当2t≤
1
e
时,0<t≤
1
2e
时,f(x)在[t,2t]上单调递减,f(x)min=f(2t)=2tln2t;          
所以f(x)min=





tlnt,t≥
1
e
-
1
e
1
2e
<t<
1
e
2tln2t,t≤
1
2e
举一反三
已知函数f(x)=ax3+bx2,f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为12x+2y-27=0.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若对任意的x∈[1,+∞),f′(x)≤klnx恒成立,求实数k的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=ax3+bx2在点(3,f(3))处的切线方程为12x+2y-27=0,且对任意的x∈[0,+∞),f"(x)≤kln(x+1)恒成立.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求实数k的最小值;
(Ⅲ)求证:1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
<ln(n+1)+2
(n∈N*).
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知a是实数,函数f(x)=


x
(x-a)

(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值.
(i)写出g(a)的表达式;
(ii)求a的取值范围,使得-6≤g(a)≤-2.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(


x
-1)=x+2


x
+2
,则f(x)=______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设函数f(x)=x-2+
1
x-4
的图象为c1,c1关于点A(2,1)对称的图象为c2,c2对应的函数为g(x).
(1)求g(x)的表达式;
(2)解不等式logag(x)≤loga
5
2
(a>0,a≠1)
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