已知函数f（x）=2asinxcosx+2bcos2x，且f（0）=8，f（π6）=12（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及其最大值．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=2asinxcosx+2bcos²x，且f（0）=8，f（

）=12
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期及其最大值．

答案

（1）由f（0）=8，f（

）=12，可得f（0）=2b=8，
f（

）=

b=12
所以b=4，a=4

．
（2）f(x)=4

sin2x+4cos2x+4=8sin(2x+

)+4，
T=

2π

=π，所以，最小正周期为π
f（x）_max=12，当2x+

=2kπ+

即，x=kπ+

，k∈Z时等号成立．

举一反三

已知函数f（x）=a•b^x的图象过点A（0，

），B（2，

）．
（I）求函数f（x）的表达式；
（II）设a_n=log₂f（n），n∈N^*，S_n是数列{a_n}的前n项和，求S_n；
（III）在（II）的条件下，若b_n=a_n(

)n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

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已知函数f（x）的定义域为（-2，2），导函数为f′（x）=x²+2cosx且f（0）=0，则满足f（1+x）+f（x²-x）＞0的实数x的取值范围为（　　）

A．（-1，1）

B．(-1，1+

）

C．(1-

，1)

D．(1-

，1+

）

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已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．
（1）求g（x）的表达式；
（2）设1＜m≤e，H（x）=g（x+

）+mlnx-（m+1）x+

，求证：H（x）在[1，m]上为减函数；
（3）在（2）的条件下，证明：对任意x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

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已知函数f（x）=x³+a•x²+bx+c的图象上的一点M（1，m）处的切线的方程为y=2，其中a，b，c∈R．
（1）若a=-3，求f（x）的解析式，并表示成f（x）=（x+t）³+k，（t，k为常数）；
（2）问函数y=f（x）是否有单调减区间，若存在，求单调减区间（用a表示），若不存在，请说明理由．

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已知函数f（x）=m+log_ax（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2），点P（3，-1）关于直线x=2的对称点Q在f（x）的图象上．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=2f（x）-f（x-1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．

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