已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x-1)+g(1-x)=x2-2x-1,且g(1)=-1.(1)求g(x)的表达式;(2)设1<m≤e,H(x)=g(
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已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x-1)+g(1-x)=x2-2x-1,且g(1)=-1.(1)求g(x)的表达式;(2)设1<m≤e,H(x)=g(
题型:解答题
难度:一般
来源:许昌县模拟
已知二次函数g(x)对任意实数x都满足g(x-1)+g(1-x)=x
2
-2x-1,且g(1)=-1.
(1)求g(x)的表达式;
(2)设1<m≤e,H(x)=g(x+
1
2
)+mlnx-(m+1)x+
9
8
,求证:H(x)在[1,m]上为减函数;
(3)在(2)的条件下,证明:对任意x
1
,x
2
∈[1,m],恒有|H(x
1
)-H(x
2
)|<1.
答案
(1)设g(x)=ax
2
+bx+c
于是g(x-1)+g(1-x)=2a(x-1)
2
+2c=(x-1)
2
-2
所以
a=
1
2
c=-1
又g(1)=-1
所以b=
-
1
2
所以
g(x)=
1
2
x
2
-
1
2
x-1
(2)
H(x)=
1
2
x
2
+mlnx-(m+1)x, (1<m≤e)
因为对∀x∈[1,m],
H′(x)=
(x-1)(x-m)
x
≤0
故H(x)在[1,m]上为减函数
(3)由(2)得:H(x)在[1,m]上为减函数则:
|H(x
1
)-H(x
2
)|<1⇐
1
2
m
2
-lnm-
1
2
<1
⇔
1
2
m-lnm-
3
2m
<0
记
h(m)=
1
2
m-lnm-
3
2m
(1<m≤e)
,
则
h′(m)=
1
2
-
1
m
+
3
2
m
2
=
3
2
(
1
m
-
1
3
)
2
+
1
3
>0
所以
h(m)=
1
2
m-lnm-
3
2m
(1<m≤e)
是单调增函数,
所以
h(m)≤h(e)=
e
2
-1-
3
2e
=
(e-3)(e+1)
2e
<0
,故命题成立
举一反三
已知函数f(x)=x
3
+a•x
2
+bx+c的图象上的一点M(1,m)处的切线的方程为y=2,其中a,b,c∈R.
(1)若a=-3,求f(x)的解析式,并表示成f(x)=(x+t)
3
+k,(t,k为常数);
(2)问函数y=f(x)是否有单调减区间,若存在,求单调减区间(用a表示),若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=m+log
a
x(a>0且a≠1)的图象过点(8,2),点P(3,-1)关于直线x=2的对称点Q在f(x)的图象上.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)令g(x)=2f(x)-f(x-1),求g(x)的最小值及取得最小值时x的值.
题型:解答题
难度:一般
|
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设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,已知x∈(0,1),
f(x)=lo
g
1
2
(1-x)
,则函数f(x)在(1,2)上的解析式是______.
题型:填空题
难度:一般
|
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已知f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且满足f(x)+g(x)=
1
x-1
,求f(x),g(x).
题型:解答题
难度:一般
|
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设函数f(x)=x
3
+ax,g(x)=2x
2
+b,已知它们的图象在x=1处有相同的切线.
(Ⅰ)求函数f(x)和g(x)的解析式;
(Ⅱ)若函数F(x)=f(x)-m•g(x)在区间[
1
2
,3
]上是单调减函数,求实数m的取值范围.
题型:解答题
难度:一般
|
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