已知f(x)=x3+ax2+bx+c的图象与y轴交于点(0,2),并且在x=1处切线的方向向量为n=(1,3).(1)若x=23是函数f(x)的极值点,求f(x
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已知f(x)=x3+ax2+bx+c的图象与y轴交于点(0,2),并且在x=1处切线的方向向量为n=(1,3).(1)若x=23是函数f(x)的极值点,求f(x
题型:解答题
难度:一般
来源:不详
已知f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c的图象与y轴交于点(0,2),并且在x=1处切线的方向向量为
n
=(1,3)
.
(1)若
x=
2
3
是函数f(x)的极值点,求f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)在区间[
3
2
,2
]单调递增,求实数b的取值范围.
答案
(1)由题意可得:f′(x)=3x
2
+2ax+b,
因为函数的图象与y轴交于点(0,2),
所以C=2…①
又因为在x=1处切线的方向向量为
n
=(1,3)
,
所以f′(1)=3+2a+b=3…②
因为
x=
2
3
是函数f(x)的极值点,
所以f′(
2
3
)=
4
3
+
4a
3
+b=0…③
由①②③可得:a=2,b=-4,c=2.
所以f(x)=x
3
+a=2x
2
-4x+2.
(2)由题意可得:c=2,并且2a=-b,所以f′(x)=3x
2
-bx+b,
因为函数f(x)在区间[
3
2
,2
]单调递增,
所以f′(x)=3x
2
-bx+b≥0在[
3
2
,2
]上恒成立,
即
b≤
3
x
2
x-1
在[
3
2
,2
]上恒成立,
令g(x)=
3
x
2
x-1
,x∈[
3
2
,2
],
所以g(x)=3×
(x-1)
2
+2(x-1)+1
x-1
=3×
[(x-1)+
1
x-1
+2]
≥12,
当且仅当
x-1=
1
x-1
,即x=2时,g(x)有最小值为12.
所以b≤g(x)
min
=12,
所以实数b的取值范围(-∞,12].
举一反三
设函数g(x+2)=2x+3,则g(x)的表达式是( )
A.2x+1
B.2x-1
C.2x-3
D.2x+7
题型:单选题
难度:一般
|
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设函数y=2
x
的图象为C,C关于直线x=-1对称的图象为C′,则C′所对应的函数解析式为______.
题型:填空题
难度:简单
|
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.设函数
f(x)=-co
s
2
x-4tsin
x
2
cos
x
2
+4
t
3
+
t
2
-3t+4
,x∈R,
其中|t|≤1,将f(x)的最小值记为g(t).
(1)求g(t)的表达式;
(2)对于区间[-1,1]中的某个t,是否存在实数a,使得不等式g(t)≤
4a
1+a2
成立?如果存在,求出这样的a及其对应的t;如果不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数f(x)=
ax
x
2
+b
在x=1处取得极值2.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)当m满足什么条件时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增?
题型:解答题
难度:一般
|
查看答案
已知函数f(x)满足
f(x)=f′(1)
e
x-1
-f(0)x+
1
2
x
2
.
(Ⅰ)求f(x)的解析式:
(Ⅱ)求f(x)的单调区间.
题型:解答题
难度:一般
|
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