已知函数f(x)=axx2+b在x=1处取得极值2.(1)求函数f(x)的表达式;(2)当m满足什么条件时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增?

已知函数f(x)=axx2+b在x=1处取得极值2.(1)求函数f(x)的表达式;(2)当m满足什么条件时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增?

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=
ax
x2+b
在x=1处取得极值2.
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)当m满足什么条件时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增?
答案
(1)因为f′(x)=
a(x2+b)-ax(2x)
(x2+b)2
,而函数f(x)=
ax
x2+b
在x=1处取得极值2,所以





f′(1)=0
f(1)=2
,即





a(1+b)-2a=0
a
1+b
=2
,解得





a=4
b=1

故f(x)=
4x
1+x2
即为所求.
(2)由(1)知f′(x)=
4(x2+1)-8x2
(x2+1)2
=
-4(x-1)(x+1)
(1+x2)2
,令f′(x)>0,得-1<x<1,∴f(x)的单调增区间为[-1,1].
由已知得





m≥-1
2m+1≤1
m<2m+1
,解得-1<m≤0.
故当m∈(-1,0]时,函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增.
举一反三
已知函数f(x)满足f(x)=f′(1)ex-1-f(0)x+
1
2
x2

(Ⅰ)求f(x)的解析式:
(Ⅱ)求f(x)的单调区间.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x+1)=x2-5x+4,则f(x)等于(  )
A.x2-5x+3B.x2-7x+10C.x2-7x-10D.x2-4x+6
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知定义域为R的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=lnx.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数h(x)=f(x)+
a
x
在[1,e]上的最小值为3,求a的值;
(3)若存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)>x02+
a
x0
,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知开口向上的抛物线过(-1,0)、(2,7)、(1,4),则其解析式为(  )
A.y=
1
3
x2-2x+
5
3
B.y=
1
3
x2+2x+
5
3
C.y=
1
3
x2+2x-
5
3
D.y=
1
3
x2-2x-
5
3
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知f(x-2)=x2-4x,那么f(x)=(  )
A.x2-8x-4B.x2-x-4C.x2+8xD.x2-4
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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