已知函数f（x）=axx2+b在x=1处取得极值2．（1）求函数f（x）的表达式；（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=

ax

x2+b

在x=1处取得极值2．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？

答案

（1）因为f′（x）=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

，而函数f（x）=

ax

x2+b

在x=1处取得极值2，所以

f′(1)=0 f(1)=2

，即

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2

，解得

a=4 b=1

．
故f（x）=

4x

1+x2

即为所求．
（2）由（1）知f′（x）=

4(x2+1)-8x2

(x2+1)2

=

-4(x-1)(x+1)

(1+x2)2

，令f′（x）＞0，得-1＜x＜1，∴f（x）的单调增区间为[-1，1]．
由已知得

m≥-1 2m+1≤1 m＜2m+1

，解得-1＜m≤0．
故当m∈（-1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．