(1)∵f(x)定义域为R的奇函数, ∴f(0)=0--------------------(1分) 当x<0时,f(x)=-f(-x)=-ln(-x) 综上所述,函数f(x)的解析式是f(x)= | lnx (x>0) | 0 (x=0) | -ln(-x) (x<0) |
| | --------------(3分) (2)由题意得h(x)=lnx+,∴h′(x)=-= 由h′(x)=0得x=a ①当a≤1时,f(x)在[1,e]上单调递增 ∴h(x)min=h(1)=a ∴a=3,但不符合a≤1,舍去---------------------(6分) ②当1<a<e时,f(x)在[1,a]上单调递减,在[a,e]上单调递增 ∴h(x)min=h(a)=a ∴a=3,但不符合1<a<e,舍去---------------------(8分) ③当a≥e时,f(x)在[1,e]上单调递减 ∴h(x)min=h(e)=1+,可得1+=3,解之得a=2e,符合题意 综上所述:当a=2e时,h(x)=f(x)+在[1,e]上的最小值为3-----------(10分) (3)由题意:f(x)>x2+在[1,+∞)上有解 即a<xlnx-x3在[1,+∞)上有解--------------------(12分) 设g(x)=xlnx-x3,其中x∈[1,+∞),可得g′(x)=lnx+1-3x2 设φ(x)=lnx+1-3x2 (x∈[1,+∞)),则φ′(x)=-6x 当x∈[1,+∞)时φ′(x)<0恒成立,可得φ(x)在[1,+∞)上单调递减 ∴φ(x)≤φ(1)=-2,得φ(x)在[1,+∞)上恒为负数---------------------(14分) ∴当x∈[1,+∞)时g′(x)<0恒成立,得g(x)在[1,+∞)上单调递减 因此,g(x)max=g(1)=-1 由此可得,实数a的取值范围为(-∞,-1).---------------------(16分) |