(Ⅰ)由题意可得:f(x)=x3-2x2+x,、 所以f"(x)=3x2-4x+1, 令f"(x)≥0得3x2-4x+1≥0,解得x≤或x≥1 故f(x)的增区间(-∞,]和[1,+∞)(4分) (Ⅱ)由题意可得:f"(x)=3x2-2(a+b)x+ab, 并且当x∈[-1,1]时,恒有|f"(x)|≤.(5分) 故有-≤f"(1)≤,-≤f"(-1)≤,及-≤f"(0)≤,(6分) 即 | -≤3-2(a+b)+ab≤…① | -≤3+2(a+b)+ab≤…② | -≤ab≤…③ |
| | …(8分) ①+②,得-≤ab≤-,…(8分) 又由③,得ab=-,将上式代回①和②,得a+b=0, 故f(x)=x3-x.(10分) (Ⅲ)假设⊥,即•=(s,f(s))•(t,f(t))=st+f(s)f(t)=0(11分) 所以有:(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1[st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]=-1,…(11分) 由s,t为f"(x)=0的两根可得,s+t=(a+b),st=,(0<a<b) 从而有ab(a-b)2=9.…(12分) 这样(a+b)2=(a-b)2+4ab=+4ab≥2=12 即 a+b≥2,这与a+b<2矛盾.…(14分) 故与不可能垂直.…(16分) |