某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站

某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站

题型:解答题难度:一般来源:期末题
某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站).经预算,修建一个增压站的工程费用为432万元,铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x3+x万元.设余下工程的总费用为y万元.
(1)试将y表示成关于x的函数;
(2)需要修建多少个增压站才能使y最小?
答案
解:(1)设需要修建k个增压站,则(k+1)x=120,即
所以
因为x表示相邻两增压站之间的距离,则0<x≤120.
故y与x的函数关系是
(2)设

由f"(x)>0,得x3>216,又0<x≤120,则6<x≤120.
所以f(x)在区间(6,120]内为增函数,在区间[0,6)内为减函数.
所以当x=6时,f(x)取最小值,
此时
故需要修建19个增压站才能使y最小.
举一反三
若函数=(    ).
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若函数f(x)=(x+a)(bx+a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(﹣∞,4],则该函数的解析式为f(x)=(    ).
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定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=﹣f(x),且当x∈[﹣1,1]时,f(x)=x3
(1)求f(x)在[1,5]上的表达式;
(2)若A={x|f(x)>a,x∈R},且A≠,求实数a的取值范围.
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已知定义在实数集上的函数,(x∈N*),其导函数记为fn′(x),且满足,其中a,x1,x2为常数,x1≠x2.设函数g(x)=f1(x)+mf2(x)﹣lnf3(x),(m∈R且m≠0).
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)若函数g(x)无极值点,其导函数g′(x)有零点,求m的值;
(Ⅲ)求函数g(x)在x∈[0,a]的图象上任一点处的切线斜率k的最大值.
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运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(50≤x≤100)(单位:千米/小时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油(2+)升,司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
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