已知定义在R上的偶函数满足:f(x+4)=f(x)+f(2),且当x∈[0,2]时,y=f(x)单调递减,给出以下四个命题:①f(2)=0;②x=-4为函数y=
题型:填空题难度:一般来源:不详
已知定义在R上的偶函数满足:f(x+4)=f(x)+f(2),且当x∈[0,2]时,y=f(x)单调递减,给出以下四个命题: ①f(2)=0; ②x=-4为函数y=f(x)图象的一条对称轴; ③函数y=f(x)在[8,10]上单调递增; ④若方程f(x)=m在[-6,-2]上的两根为x1,x2,则x1+x2=-8. 以上命题中所有正确命题的序号为________. |
答案
①②④ |
解析
令x=-2,得f(2)=f(-2)+f(2),又函数f(x)是偶函数,故f(2)=0;根据f(2)=0可得f(x+4)=f(x),所以函数f(x)的周期是4,由于偶函数的图象关于y轴对称,故x=-4也是函数y=f(x)的图象的一条对称轴;根据函数的周期性可知,函数f(x)在[8,10]上单调递减,③不正确;由于函数f(x)的图象关于直线x=-4对称,故如果方程f(x)=m在区间[-6,-2]上的两根为x1,x2,则=-4,即x1+x2=-8.故正确命题的序号为①②④. |
举一反三
已知f(x)是偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是增函数,如果f(ax+1)≤f(x-2)在x∈[,1]上恒成立,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},对定义域内的任意x1、x2,都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0. (1)求证:f(x)是偶函数; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数. |
已知函数f(x)=x3+3x对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围为________. |
若函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上( ) |
函数y=()的单调递增区间是( )A.[-1,] | B.(-∞,-1] | C.[2,+∞) | D.[,2] |
|
最新试题
热门考点