已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},对定义域内的任意x1、x2,都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},对定义域内的任意x1、x2,都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0. (1)求证:f(x)是偶函数; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数. |
答案
(1)见解析 (2)见解析 |
解析
证明: (1)因对定义域内的任意x1、x2都有 f(x1·x2)=f(x1)+f(x2), 令x1=x,x2=-1, 则有f(-x)=f(x)+f(-1). 又令x1=x2=-1,得2f(-1)=f(1). 再令x1=x2=1,得f(1)=0, 从而f(-1)=0, 于是有f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数. (2)设0<x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1·)=f(x1)-[f(x1)+f()]=-f(), 由于0<x1<x2,所以>1,从而f()>0, 故f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在(0,+∞)上是增函数. |
举一反三
已知函数f(x)=x3+3x对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围为________. |
若函数y=ax与y=-在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上( ) |
函数y=()的单调递增区间是( )A.[-1,] | B.(-∞,-1] | C.[2,+∞) | D.[,2] |
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已知函数f(x)=log0.5(x2-ax+3a)在[2,+∞)单调递减,则a的取值范围是( )A.(-∞,4] | B.[4,+∞) | C.[-4,4] | D.(-4,4] |
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如果函数y=f(x)图象上任意一点的坐标(x,y)都满足方程lg(x+y)=lgx+lgy,那么y=f(x)在[2,4]上的最小值是________. |
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