设函数f(x)=log3(9x)·log3(3x),≤x≤9.(1)若m=log3x,求m的取值范围.(2)求f(x)的最值,并给出最值时对应的x的值.

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f(x)=log₃(9x)·log₃(3x),≤x≤9.
(1)若m=log₃x,求m的取值范围.
(2)求f(x)的最值,并给出最值时对应的x的值.

答案

（1）[-2,2]    （2）x=9时f(x)取得最大值12

解析

(1)因为≤x≤9,m=log₃x为增函数,
所以-2≤log₃x≤2,即m的取值范围是[-2,2].
(2)由m=log₃x得：
f(x)=log₃(9x)·log₃(3x)
=(2+log₃x)·(1+log₃x)
=(2+m)·(1+m)=-,
又-2≤m≤2,
所以当m=log₃x=-,
即x=时f(x)取得最小值-,
当m=log₃x=2,即x=9时f(x)取得最大值12.