已知函数.(1)当时,判断在的单调性,并用定义证明;(2)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围;(3)讨论零点的个数.

已知函数.(1)当时,判断在的单调性,并用定义证明;(2)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围;(3)讨论零点的个数.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数
(1)当时,判断的单调性,并用定义证明;
(2)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围;
(3)讨论零点的个数.
答案
(1)单调递减函数;(2);(3)当时,有1个零点.当时,有2个零点;当时,有3个零点.
解析

试题分析:(1)先根据条件化简函数式,根据常见函数的单调性及单调性运算法则,作出单调性的判定,再用定义证明;(2)将题中所给不等式具体化,转化为不等式恒成立问题,通过参变分离化为,求出的最大值,则的范围就是大于的最大值;(3)将函数零点个数转化为方程解的个数,再转化为函数交点个数,运用数形结合思想求解.
试题解析:(1)当,且时,是单调递减的
证明:设,则




,所以
所以
所以,即
故当时,上单调递减
(2)由
变形为,即


所以
(3)由可得,变为

的图像及直线

由图像可得:
时,有1个零点
时,有2个零点
时,有3个零点.
举一反三
函数的单调递减区间为(   )
A.(-∞,-3) B.(-∞,-1)C.(1,+∞)D.(-3,-1)

题型:单选题难度:简单| 查看答案
定义在区间的奇函数为增函数,偶函数在区间的图象与的图象重合,设,给出下列不等式:
      ②
      ④其中成立的是(     )
A.①与④B.②与③C.①与③D.②与④

题型:单选题难度:简单| 查看答案
设函数则满足的取值范围是      
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数
(1)求函数的定义域;(2)判断函数的奇偶性;(3)求证:﹥0.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数
(1)若,试判断并用定义证明函数的单调性;
(2)当时,求证函数存在反函数.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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