已知函数，，．（1）若，试判断并用定义证明函数的单调性；（2）当时，求证函数存在反函数．

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数，，．
（1）若，试判断并用定义证明函数的单调性；
（2）当时，求证函数存在反函数．

答案

（1）增函数；（2）参考解析

解析

试题分析：（1）当时，，.通过函数的单调性的定义可证得函数，单调递增.
（2）由，所以将x的区间分为两类即和.所以函数.由（1）可得函数是递增函数.应用单调性的定义同样可得函数是递增.根据反函数的定义可得函数存在反函数.
试题解析：(1)判断：若，函数在上是增函数.
证明：当时，，
在上是增函数.2分
在区间上任取，设，

所以，即在上是增函数.6分
(2)因为，所以8分
当时，在上是增函数，9分
证明：当时，在上是增函数（过程略）11分
在在上也是增函数，当时，上是增函数12分
所以任意一个，均能找到唯一的和它对应，
所以时，存在反函数14分