设直线y＝a分别与曲线y2＝x和y＝ex交于点M、N，则当线段MN取得最小值时a的值为________．

题型：填空题难度：一般来源：不详

设直线y＝a分别与曲线y²＝x和y＝e^x交于点M、N，则当线段MN取得最小值时a的值为________．

答案

解析

由题意，M(a²，a)，N(lna，a)，故MN的长l＝|a²－lna|＝a²－lna(a>0)，
由l′＝2a－

，
令l′>0，得l＝a²－lna在

上单调递增；
令l′<0，得l＝a²－lna在

上单调递减，所以当a＝

时，线段MN的长取得极小值，也是最小值．

举一反三

已知函数f(x)＝(ax²＋x)e^x，其中e是自然数的底数，a∈R.
(1)当a<0时，解不等式f(x)>0；
(2)若f(x)在[－1，1]上是单调函数，求a的取值范围；
(3)当a＝0时，求整数k的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[k，k＋1]上有解．

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已知a、b为正实数，函数f(x)＝ax³＋bx＋2^x在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[－1，0]上的最小值为________．

题型：填空题难度：简单| 查看答案

已知函数y＝f(x)是偶函数，对于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立．当x₁、x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有

>0，给出下列命题：
①f(3)＝0；
②直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴；
③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为单调增函数；
④函数y＝f(x)在[－9，9]上有4个零点．
其中正确的命题是________．(填序号)

题型：填空题难度：一般| 查看答案

已知函数f(x)＝ax²－|x|＋2a－1(a为实常数)．
(1)若a＝1，作函数f(x)的图象；
(2)设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；
(3)设h(x)＝

，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

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已知函数f(x)＝lnx－ax²＋(2－a)x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)设a>0，证明：当0<x<

时，f

；
(3)若函数y＝f(x)的图象与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x₀，证明：

＜0.

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