已知函数f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然数的底数,a∈R.(1)当a<0时,解不等式f(x)>0;(2)若f(x)在[-1,1]上是单调函

已知函数f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然数的底数,a∈R.(1)当a<0时,解不等式f(x)>0;(2)若f(x)在[-1,1]上是单调函

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=(ax2+x)ex,其中e是自然数的底数,a∈R.
(1)当a<0时,解不等式f(x)>0;
(2)若f(x)在[-1,1]上是单调函数,求a的取值范围;
(3)当a=0时,求整数k的所有值,使方程f(x)=x+2在[k,k+1]上有解.
答案
(1)(2)(3){-3,1}
解析
(1)因为ex>0,所以不等式f(x)>0即为ax2+x>0.
又a<0,所以不等式可化为x <0,所以不等式f(x)>0的解集为.
(2)f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x)ex=[ax2+(2a+1)x+1]ex
①当a=0时,f′(x)=(x+1)ex,f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立,当且仅当x=-1时取等号,故a=0符合要求;
②当a≠0时,令g(x)=ax2+(2a+1)x+1,因为Δ=(2a+1)2-4a=4a2+1>0,所以g(x)=0有两个不相等的实数根x1、x2,不妨设x1>x2,因此f(x)有极大值又有极小值.若a>0,因为g(-1)·g(0)=-a<0,所以f(x)在(-1,1)内有极值点,故f(x)在[-1,1]上不单调.若a<0,可知x1>0>x2,因为g(x)的图象开口向下,要使f(x)在[-1,1]上单调,因为g(0)=1>0,必须满足所以-≤a≤0.综上可知,a的取值范围是.
(3)当a=0时,方程即为xex=x+2,由于ex>0,所以x=0不是方程的解,所以原方程等价于ex-1=0.
令h(x)=ex-1,因为h′(x)=ex>0对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞)恒成立,所以h(x)在(-∞,0)和(0,+∞)内是单调增函数,又h(1)=e-3<0,h(2)=e2-2>0,h(-3)=e-3<0,h(-2)=e-2>0,所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根,且分别在区间[1,2]和[-3,-2]上,所以整数k的所有值为{-3,1}
举一反三
已知a、b为正实数,函数f(x)=ax3+bx+2x在[0,1]上的最大值为4,则f(x)在[-1,0]上的最小值为________.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数y=f(x)是偶函数,对于x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立.当x1、x2∈[0,3],且x1≠x2时,都有>0,给出下列命题:
①f(3)=0;
②直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴;
③函数y=f(x)在[-9,-6]上为单调增函数;
④函数y=f(x)在[-9,9]上有4个零点.
其中正确的命题是________.(填序号)
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=ax2-|x|+2a-1(a为实常数).
(1)若a=1,作函数f(x)的图象;
(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式;
(3)设h(x)=,若函数h(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数a的取值范围.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设a>0,证明:当0<x<时,f>f
(3)若函数y=f(x)的图象与x轴交于A、B两点,线段AB中点的横坐标为x0,证明:<0.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
上的奇函数,且时,,对任意,不等式恒成立,则的取值范围(   )
A.B.C.D.

题型:单选题难度:一般| 查看答案
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