设函数f(x)=a为常数且a∈(0,1).(1)当a=时,求f; (2)若x0满足f[f(x0)]=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点.证
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设函数f(x)=a为常数且a∈(0,1).(1)当a=时,求f; (2)若x0满足f[f(x0)]=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点.证
题型:解答题
难度:困难
来源:不详
设函数f(x)=
a为常数且a∈(0,1).
(1)当a=
时,求f
;
(2)若x
0
满足f[f(x
0
)]=x
0
,但f(x
0
)≠x
0
,则称x
0
为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x
1
,x
2
;
(3)对于(2)中的x
1
,x
2
,设A(x
1
,f[f(x
1
)]),B(x
2
,f[f(x
2
)]),C(a
2
,0),记△ABC的面积为S(a),求S(a)在区间[
,
]上的最大值和最小值.
答案
(1)
(2)见解析,x
1
=
,x
2
=
(3)最小值为
,最大值为
解析
(1)当a=
时,f
=
,f
=f
=2
=
.
(2)证明:f[f(x)]=
当0≤x≤a
2
时,由
x=x解得x=0,由于f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;
当a
2
<x≤a时,由
(a-x)=x解得x=
∈(a
2
,a),因为f
=
·
=
≠
,故x=
是f(x)的二阶周期点;
当a<x<a
2
-a+1时,由
(x-a)=x解得x=
∈(a,a
2
-a+1),
因为f
=
·
=
,故x=
不是f(x)的二阶周期点;
当a
2
-a+1≤x≤1时,由
(1-x)=x解得x=
∈(a
2
-a+1,1),因为f
=
·
=
≠
,故x=
是f(x)的二阶周期点.
因此,函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,x
1
=
,x
2
=
.
(3)由(2)得A(
,
),B(
,
),则S(a)=
,
S′(a)=
·
.
因为a∈[
,
],有a
2
+a<1,所以S′(a)=
·
=
·
>0.(或令g(a)=a
3
-2a
2
-2a+2,g′(a)=3a
2
-4a-2=3(a-
)(a-
),
因为a∈(0,1),所以g′(a)<0,则g(a)在区间[
,
]上最小值为g(
)=
>0,故对于任意a∈[
,
],g(a)=a
3
-2a
2
-2a+2>0,S′(a)=
·
>0)则S(a)在区间[
,
]上单调递增,故S(a)在区间[
,
]上的最小值为S(
)=
,最大值为S(
)=
.
举一反三
某医药研究所开发一种新药,在试验药效时发现:如果成人按规定剂量服用,那么服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间x(小时)之间满足y=
其对应曲线(如图所示)过点
.
(1)试求药量峰值(y的最大值)与达峰时间(y取最大值时对应的x值);
(2)如果每毫升血液中含药量不少于1微克时治疗疾病有效,那么成人按规定剂量服用该药后一次能维持多长的有效时间(精确到0.01小时)?
题型:解答题
难度:一般
|
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已知函数
(
为常数,且
).
(1)当
时,求函数
的最小值(用
表示);
(2)是否存在不同的实数
使得
,
,并且
,若存在,求出实数
的取值范围;若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:一般
|
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定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(
)=0,则不等式
的解集是( )
A.(0,
)
B.(
,+∞)
C.(-
,0)∪(
,+∞)
D.(-∞,-
)∪(0,
)
题型:单选题
难度:一般
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规定
表示不超过
的最大整数,例如:[3.1]=3,[
2.6]=
3,[
2]=
2;若
是函数
导函数,设
,则函数
的值域是( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:一般
|
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函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是( )
A.(-∞,0],(-∞,1]
B.(-∞,0],[1,+∞)
C.[0,+∞),(-∞,1]
D.[0,+∞),[1,+∞)
题型:单选题
难度:简单
|
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