已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R且e为自然对数的底数).(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性;(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R且e为自然对数的底数). (1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性; (2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立?若存在,求出t;若不存在,请说明理由. |
答案
(1)奇函数.增函数(2)存在实数t=- |
解析
(1)∵f(x)=ex-x,且y=ex是增函数,y=-x是增函数,所以f(x)是增函数.由于f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x),所以f(x)是奇函数. (2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数,∴f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R恒成立 ⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R恒成立 ⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R恒成立 ⇔t2+t≤x2+x对一切x∈R恒成立 ⇔2≤对一切x∈R恒成立 ⇔2≤0⇔t=-. 即存在实数t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x都成立. |
举一反三
已知函数f(x)=x3-2x2+3m,x∈[0,+∞),若f(x)+5≥0恒成立,则实数m的取值范围是( )A. | B. | C.(-∞,2] | D.(-∞,2) |
|
已知f(x)是定义在(0,+∞) 上的非负可导函数,且满足xf′(x)+f(x)≤0,对任意的0<a<b,则必有( ).A.af(b)≤bf(a) | B.bf(a)≤af(b) | C.af(a)≤f(b) | D.bf(b)≤f(a) |
|
若函数f(x)=-x2+4x-3ln x在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是______. |
已知函数,则的单调递减区间为( )A.[0,1) | B.(-∞,0) | C. | D.(-∞,1)和(1,+∞) |
|
已知函数f(x)=ax+x-b的零点x0∈(n,n+1)(n∈Z),其中常数a,b满足2a=3,3b=2.则n的值是 ( ). |
最新试题
热门考点