设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.(1)求f(π)的值; (2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与
题型:解答题难度:简单来源:不详
设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x. (1)求f(π)的值; (2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积; (3)写出(-∞,+∞)内函数f(x)的单调区间. |
答案
(1)π-4. (2)4 (3)递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间[4k+1,4k+3](k∈Z) |
解析
试题分析:解:(1)由f(x+2)=-f(x)得, f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是以4为周期的周期函数, ∴f(π)=f(-1×4+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4. (2)由f(x)是奇函数与f(x+2)=-f(x),得:f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],即f(1+x)=f(1-x). 故知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称. 又0≤x≤1时,f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)的图象如图所示.
当-4≤x≤4时,f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则 S=4S△OAB=4×=4. (3)根据(1)(2)可知函数的图形,根据奇偶性以及解析式和对称中心可知,
在一个周期[-1,3]内的图象可知增区间为[-1,1],减区间为[1,3],那么推广到整个实数域可知,都加上周期的整数倍即可,故可知函数f(x)的单调递增区间为[4k-1,4k+1](k∈Z),单调递减区间[4k+1,4k+3](k∈Z) 点评:主要是考查了函数的图象与性质的综合运用,属于中档题。 |
举一反三
函数的单调递减区间为 。 |
已知函数与互为反函数,且函数与函数也互为反函数,若则=( )A.0 | B.1 | C.-2010 | D.-2009 |
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已知函数当时,求曲线在点处的切线方程;求函数的极值 |
已知函数 . (1)若,求的单调区间及的最小值; (2)若,求的单调区间; (3)试比较与的大小,并证明你的结论. |
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