试题分析:(1)证明: a+b+c=1,a、b、c∈(0,+∞), alog3a+blog3b+clog3c= alog3a+blog3b+(1-a-b) log3(1-a-b)="f(a)" 那么f ′ (a)= log3a-log3(1-a-b),当a∈(0,)时f ′ (a)<0,当a∈(,1)时f ′ (a)>0, f(a)在(0,]上递减,在[,1) 上递增; f(a)≥f()="(1-b)" log3+ blog3b,记g(b)=" (1-b)" log3+ blog3b, 3分 得:g′(b)= log3b-log3,当b∈(0,)时g′(b) <0,当b∈(,1)时,g′(b) >0, g(b)在(0,)递减,在(,1)上递增; g(b)≥g()=-1。 alog3a+blog3b+clog3c≥-1当a=b=c=时等号成立。5分 (2)证明:n=1时,++=1,>0(i=1,2,3),由(1)知 ++≥-1成立,即n=1时,结论成立。 设n=k时结论成立,即++…+=1,>0(i=1,2,3,…,3k)时 +++…+≥-k. 那么,n=k+1时,若++…+++…+=1,>0(i=1,2,3,…,3k+1)时, 令+…+=t,则++…+=1,由归纳假设: ++…+≥-k. 8分 +++…+-(1-t) (1-t) ≥-k(1-t). +++…+≥-k(1-t)+ (1-t) (1-t)…(1) 设+…+=s,则+…+=t-s,++…+=1, 由归纳假设:++…+≥-k. ++…+≥-k(t-s)+ (t-s)(t-s) ………(2) 10分 +…+=s,++…+=1;由归纳假设同理可得: ++…+ ≥-ks+ ss ……(3) 将(1) 、(2)、(3)两边分别相加得: ++…++…++…+ ≥-k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)(1-t)+ (t-s)(t-s) + ss 而(1-t)+(t-s)+s=1,(1-t)>0,(t-s) >0,s >0。 (1-t)(1-t)+ (t-s) (t-s) + ss≥-1。 -k[(1-t)+(t-s)+s]+ (1-t)(1-t)+ (t-s)(t-s) + ss≥-k-1=-(k+1)。 ++…++…+≥-(k+1)。 n=k+1时,题设结论成立。综上所述,题设结论得证。 13分 点评:难题,利用已知a,b,c的关系,首先确定得到函数f(a),从而利用导数研究函数的单调性,达到证明不等式的目的。(2)利用数学归纳法证明不等式,看似思路清晰,但在不等式变形过程中,困难重重。是一道比较难的题目。 |