设函数，。（1）当时，求的单调区间；（2）（i）设是的导函数，证明：当时，在上恰有一个使得；（ii）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立。注：为自然对数的底

题型：解答题难度：简单来源：不详

设函数，。
（1）当时，求的单调区间；
（2）（i）设是的导函数，证明：当时，在上恰有一个使得；
（ii）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立。
注：为自然对数的底数。

答案

（1）的减区间是；增区间是 
（2）在上恰有一个使得.
（ⅱ）。

解析

试题分析：（1）当时，   1分
当时，；当时，
所以函数的减区间是；增区间是      3分
（2）（ⅰ）   4分
当时，；当时，
因为，所以函数在上递减；在上递增    6分
又因为，
所以在上恰有一个使得.    8分
（ⅱ）若，可得在时，，从而在内单调递增，而，
，不符题意。       
由（ⅰ）知在递减，递增，
设在上最大值为则，
若对任意的，恒有成立，则，    11分
由得，，
又，。    13
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，首先通过求导数，研究导数值的正负情况，确定函数单调区间。应用同样的方法，研究函数图象的形态，明确方程解的情况。作为“恒成立问题”往往转化成求函数的最值。