试题分析:解:(I)当时,,则.由得;由得.故的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,). (II)因为在区间上恒成立是不可能的,故要使函数在上无零点,只要对任意,恒成立.即对,恒成立.令,,则,再令,,则。故在为减函数,于是,从而,于是在上为增函数,所以,故要使恒成立,只要.综上可知,若函数在上无零点,则的最小值为 . (III),所以在上递增,在上递减.又 ,,所以函数在上的值域为.当时,不合题意;当时,, 。 当时,,由题意知,在上不单调,故,即。此时,当变化时,,的变化情况如下: 又因为当时,,,,所以,对任意给定的,在上总存在两个不同的),使得成立,当且仅当满足下列条件: ,令,,则,故当时,函数单调递增,当时,函数单调递减,所以,对任意的,有,即(2)对任意恒成立,则(3)式解得(4)。综合(1)、(4)可知,当时,对任意给定的,在上总存在两个不同的),使得成立。 点评:解决该试题的关键是能利用函数的导数符号判定其单调性,以及根据函数的单调性得到最值,同时能结合函数与方程的知识求解根的问题,属于中档题。 |