试题分析:(Ⅰ)因为①当时,, 所以方程有实数根0; ②, 所以,满足条件; 由①②,函数是集合中的元素. 5分 (Ⅱ)假设方程存在两个实数根,, 则,. 不妨设,根据题意存在, 满足. 因为,,且,所以. 与已知矛盾.又有实数根, 所以方程有且只有一个实数根. 10分 (Ⅲ)当时,结论显然成立; 11分 当,不妨设. 因为,且所以为增函数,那么. 又因为,所以函数为减函数, 所以. 所以,即. 因为,所以, (1) 又因为,所以, (2) (1)(2)得即. 所以. 综上,对于任意符合条件的,总有成立. 14分 点评:综合题,本题综合性较强,难度较大。证明方程只有一个实根,可通过构造函数,研究其单调性实现,本解法运用的是反证法。由自变量取值,且,确定函数值的关系,关键是如何实现两者的有机转换。 |