已知函数f（x）=(2n-n2)x2n2-n，(n∈N*)在（0，+∞）是增函数．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=f2(x)+m2f(x)(m＞0)

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=(2n-n2)x2n2-n，(n∈N*)在（0，+∞）是增函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=

f2(x)+m2

f(x)

(m＞0)，试判断g（x）在（0，+∞）上的单调性，并加以证明．

答案

由题意（1）

2n-n2＞0 2n2-n＞0

或

2n-n2＜0 2n2-n＜0

⇒

1

2

＜n＜2或∅；
∵n∈N^*∴n=1⇒f（x）=x；
（2）g(x)=

x2+m2

x

=x+

m2

x

设0＜x₁＜x₂，则g(x1)-g(x2)=…=

x1-x2

x1x2

(x1x2-m2)；
若0＜x₁＜x₂≤m，则x₁x₂＜m²；若m≤x₁＜x₂，则x₁x₂＞m²；而x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0
当0＜x₁＜x₂≤m时，g（x₁）＞g（x₂）；当m≤x₁＜x₂时，g（x₁）＜g（x₂）
因此，g（x）在（0，m]上单调递减；g（x）在[m，+∞）上单调递增；